Considere r(t)=t i+3 cos (t) j+3 sen(t) k.
Determine o vetor tangente unitário T(t);

Passo 1

O enunciado dá a curva
vec r(t) = t,vec i + 3cos(t),vec j + 3sin(t),vec k
e pede o vetor tangente unitário vec T(t). Para isso, precisamos usar a definição
vec T(t) = vec r,'(t)|vec r,'(t)|,
isto é, calcular a derivada vec r,'(t) e seu módulo.

Passo 2

Derivamos componente a componente:
vec r,'(t) = ddtl(tr),vec i + ddtl(3cos(t)r),vec j + ddtl(3sin(t)r),vec k = vec i - 3sin(t),vec j + 3cos(t),vec k

Passo 3

Calculamos o módulo de vec r,'(t):
|vec r,'(t)| = raiz1^2 + l(-3sin(t)r)^2 + l(3cos(t)r)^2 = raiz1 + 9l(sin^2(t)+cos^2(t)r) = raiz10

Passo 4

Substituímos na definição de vec T(t):
vec T(t) = vec r,'(t)|vec r,'(t)| = 1raiz10l(vec i - 3sin(t),vec j + 3cos(t),vec kr)

Resposta

vec T(t) = 1raiz10l(vec i - 3sin(t),vec j + 3cos(t),vec kr)

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