Use séries de Taylor de sen x, cos x e e^x para obter a série de Taylor.
f(x)=x sen 2 x

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=xsin 2x em torno de x=0. Para isso, vamos usar as expansões em potência de sin x, cos x e e^x, lembrando que sin x pode ser derivada da série de e^ix.

Passo 2

Recordando as séries de Maclaurin:
sin x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!,
cos x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!,
e^x = sumn=0^infty x^nn!

Passo 3

Fazendo a substituição xmapsto2x na série de sin x, obtemos
sin 2x = sumn=0^infty (-1)^n (2x)^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n 2^2n+1,x^2n+1(2n+1)!

Passo 4

Multiplicamos essa série por x:
xsin 2x = sumn=0^infty (-1)^n 2^2n+1,x^2n+2(2n+1)!

Passo 5

Extraindo os primeiros termos ( n=0,1,2,3) e escrevendo a forma geral, temos
xsin 2x = 2x^2 - 2^33!x^4 + 2^55!x^6 - 2^77!x^8 + cdots = 2x^2 - 43x^4 + 415x^6 - 8315x^8 + cdots,
ou ainda xsin 2x = sumn=0^infty (-1)^n 2^2n+1(2n+1)!,x^2n+2

Resposta

boxedxsin 2x = sumn=0^infty (-1)^n 2^2n+1(2n+1)!,x^2n+2 =2x^2 - tfrac43x^4 + tfrac415x^6 - tfrac8315x^8 + cdots

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