Use séries de Taylor de sen x, cos x e e^x para obter a série de Taylor.
f(x)=sen(x^4)

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=senl(x^4r) em torno de x=0. Vamos usar o desenvolvimento conhecido de sen x e depois substituir x por x^4.

Passo 2

A série de Maclaurin de sen x é dada por
sen x = sumn=0^infty (-1)^n,x^2n+1(2n+1)!
Isso vem de derivar sucessivamente sen x e avaliar em 0, reconhecendo o padrão de potências ímpares.

Passo 3

Para obter senl(x^4r), basta substituir xto x^4 na série acima:
senl(x^4r) = sumn=0^infty (-1)^n,l(x^4r)^2n+1(2n+1)!

Passo 4

Simplificamos o expoente de x:
l(x^4r)^2n+1 = x^4(2n+1) = x^8n+4
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senl(x^4r) = sumn=0^infty (-1)^n,x^8n+4(2n+1)!

Passo 5

Escrevendo os primeiros termos dessa série, temos
senl(x^4r) = x^41! - x^123! + x^205! - x^287! + cdots = x^4 - x^126 + x^20120 - x^285040 + cdots

Resposta

senl(x^4r) = sumn=0^infty (-1)^n,x^8n+4(2n+1)! = x^4 - x^126 + x^20120 - x^285040 + cdots

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