Considere f(t)=ll1, & se 0 <= t<1 0, & se t >= 1.
Calcule a transformada de Laplace de f(t).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função f(t) que vale 1 quando 0 <= t < 1 e vale 0 quando t >= 1 . O que a gente precisa fazer é calcular a transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Laplace e como aplicá-la numa função que muda de valor em diferentes intervalos de tempo.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática usada para transformar uma função do tempo f(t) em uma nova função que depende de uma variável s . A fórmula da transformada de Laplace é:
Lf(t) = integral0^infty f(t) e^-st , dt
Isso significa que a gente integra a função f(t) multiplicada por e^-st de 0 até o infinito.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na nossa função f(t) . Como f(t) vale 1 de 0 a 1 e 0 após 1, a integral se simplifica porque, para t >= 1 , f(t) = 0 . Então, a gente só precisa integrar de 0 a 1:
Lf(t) = integral0^1 1 cdot e^-st , dt

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A integral de e^-st em relação a t é:
integral e^-st , dt = -1s e^-st
Aplicando os limites de 0 a 1:
-1s e^-s cdot 1 + 1s e^-s cdot 0 = -1s e^-s + 1s cdot 1
Simplificando isso, a gente tem:
1 - e^-ss

Resposta

A transformada de Laplace de f(t) é:
Lf(t) = 1 - e^-ss

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