Considere .
Calcule a transformada de Laplace de f(t).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função f(t) que vale 1 quando 0 <= t < 1 e vale 0 quando t >= 1 . O que a gente precisa fazer é calcular a transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Laplace e como aplicá-la numa função que muda de valor em diferentes intervalos de tempo.
Passo 2
Primeiro, bora lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática usada para transformar uma função do tempo f(t) em uma nova função que depende de uma variável s . A fórmula da transformada de Laplace é:
Lf(t) = integral0^infty f(t) e^-st , dt
Isso significa que a gente integra a função f(t) multiplicada por e^-st de 0 até o infinito.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso na nossa função f(t) . Como f(t) vale 1 de 0 a 1 e 0 após 1, a integral se simplifica porque, para t >= 1 , f(t) = 0 . Então, a gente só precisa integrar de 0 a 1:
Lf(t) = integral0^1 1 cdot e^-st , dt
Passo 4
Vamos resolver essa integral. A integral de e^-st em relação a t é: