Mostrar que:
Lt sin (k t)=2 k s(s^2+k^2)^2.

Passo 1

Beleza, vamos mostrar que a transformada de Laplace de t sin(k t) é igual a 2 k s(s^2+k^2)^2 . Vamos usar conceitos de Transformada de Laplace, especificamente a propriedade que envolve a multiplicação por t e a transformada de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da transformada de sin(k t) e como aplicar a operação de derivada na transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a transformada de Laplace da função sin(k t) . A transformada de sin(k t) é dada por:
Lsin(k t) = ks^2 + k^2
Isso significa que, se aplicarmos a transformada de Laplace na função seno, obtemos essa expressão.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a transformada de t sin(k t) . Para isso, vamos usar uma propriedade das transformadas de Laplace que nos diz que:
Lt f(t) = -dds Lf(t)
Ou seja, a transformada de Laplace de t vezes uma função é igual à derivada negativa da transformada da função original em relação a s .

Passo 4

Aplicando essa propriedade na nossa situação, temos:
Lt sin(k t) = -dds ( ks^2 + k^2 )
Agora, precisamos calcular essa derivada em relação a s .

Passo 5

Vamos calcular a derivada:
dds ( ks^2 + k^2 ) = k cdot dds ( 1s^2 + k^2 ) = k cdot ( -2s(s^2 + k^2)^2 ) = -2 k s(s^2 + k^2)^2

Passo 6

Agora, substituindo de volta na expressão original:
Lt sin(k t) = -( -2 k s(s^2 + k^2)^2 ) = 2 k s(s^2 + k^2)^2

Resposta

Portanto,
Lt sin(k t) = 2 k s(s^2+k^2)^2

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