Mostrar que:
.
Passo 1
Beleza, vamos mostrar que a transformada de Laplace de
é igual a
. Vamos usar conceitos de Transformada de Laplace, especificamente a propriedade que envolve a multiplicação por
e a transformada de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da transformada de
e como aplicar a operação de derivada na transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a transformada de Laplace da função
. A transformada de
é dada por:
Isso significa que, se aplicarmos a transformada de Laplace na função seno, obtemos essa expressão.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a transformada de
. Para isso, vamos usar uma propriedade das transformadas de Laplace que nos diz que:
Ou seja, a transformada de Laplace de
vezes uma função é igual à derivada negativa da transformada da função original em relação a
.
Passo 4
Aplicando essa propriedade na nossa situação, temos:
Agora, precisamos calcular essa derivada em relação a
.
Passo 5
Vamos calcular a derivada:
Passo 6
Agora, substituindo de volta na expressão original:
Resposta
Portanto,