Considere o cálculo de raiz2, como utilizar o método da dicotomia para obter uma aproximação dessa conta? Realize 4 iterações e determine seu valor aproximado como também uma estimativa do erro obtido.

Passo 1

Beleza, o problema é: aproximar usando o método da dicotomia (também chamado de bissecção). Isso faz parte de Métodos Numéricos ou Equações Não-Lineares.
O que vamos precisar:
• Definir uma função .
• Saber que, se é contínua e troca de sinal num intervalo , existe raiz lá (Teorema do Valor Intermediário).
• Repetir 4 vezes o processo de “dividir o intervalo ao meio” e escolher o subintervalo onde há troca de sinal.

Passo 2

Primeiro, escolhemos um intervalo inicial onde f(x)=x^2-2, a=1,;b=2 e f(1)=1^2-2=-1<0, f(2)=2^2-2=2>0 tenham sinais opostos.
Aqui:
Calculamos
Como , sabemos que existe uma raiz em . Pronto, vamos bissetar esse intervalo.

Passo 3

Iteração 1:
- Calcular o ponto médio
m1=1+22=1.5
- Avaliar
f(1.5)=1.5^2-2=2.25-2=0.25>0
Como e , a troca de sinal ocorre em .
Novo intervalo: , .

Passo 4

Iteração 2:
- Médio
m2=1+1.52=1.25
- Avaliar
f(1.25)=1.25^2-2=1.5625-2=-0.4375<0
Agora e , então a raiz está em .
Novo intervalo: , .

Passo 5

Iteração 3:
- Médio
m3=1.25+1.52=1.375
- Avaliar
f(1.375)=1.375^2-2=1.890625-2=-0.109375<0
Troca de sinal entre e , então .
Novo intervalo: , .

Passo 6

Iteração 4:
- Médio
m4=1.375+1.52=1.4375
- Avaliar
f(1.4375)=1.4375^2-2=2.06640625-2=0.06640625>0
Troca de sinal entre e , então o novo intervalo é .

Passo 7

Estimativa de erro:
Depois de 4 iterações, o comprimento do intervalo é
b4-a4 = 1.4375 - 1.375 = 0.0625
Como a nossa aproximação é o ponto médio erro máximo <= 0.06252=0.03125 , o erro máximo é no máximo metade disso:
á

Resposta

Aproximação de boxed1.4375 após 4 iterações:
boxed0.03125
Estimativa do erro absoluto:

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