Considere o cálculo de
, como utilizar o método da dicotomia para obter uma aproximação dessa conta? Realize 4 iterações e determine seu valor aproximado como também uma estimativa do erro obtido.
Passo 1
Beleza, o problema é: aproximar
usando o método da dicotomia (também chamado de bissecção). Isso faz parte de Métodos Numéricos ou Equações Não-Lineares.
O que vamos precisar:
• Definir uma função .
• Saber que, se é contínua e troca de sinal num intervalo
, existe raiz lá (Teorema do Valor Intermediário).
• Repetir 4 vezes o processo de “dividir o intervalo ao meio” e escolher o subintervalo onde há troca de sinal.
O que vamos precisar:
• Definir uma função
• Saber que, se
• Repetir 4 vezes o processo de “dividir o intervalo ao meio” e escolher o subintervalo onde há troca de sinal.
Passo 2
Primeiro, escolhemos um intervalo inicial onde
e
tenham sinais opostos.
Aqui:
Aqui:
Calculamos
Como
, sabemos que existe uma raiz em
. Pronto, vamos bissetar esse intervalo.
Passo 3
Iteração 1:
- Calcular o ponto médio
- Calcular o ponto médio
- Avaliar
Como
e
, a troca de sinal ocorre em
.
Novo intervalo: ,
.
Novo intervalo:
Passo 4
Iteração 2:
- Médio
- Médio
- Avaliar
Agora
e
, então a raiz está em
.
Novo intervalo: ,
.
Novo intervalo:
Passo 5
Iteração 3:
- Médio
- Médio
- Avaliar
Troca de sinal entre
e
, então
.
Novo intervalo: ,
.
Novo intervalo:
Passo 6
Iteração 4:
- Médio
- Médio
- Avaliar
Troca de sinal entre
e
, então o novo intervalo é
.
Passo 7
Estimativa de erro:
Depois de 4 iterações, o comprimento do intervalo é
Depois de 4 iterações, o comprimento do intervalo é
Como a nossa aproximação é o ponto médio
, o erro máximo é no máximo metade disso:
Resposta
Aproximação de
após 4 iterações:
Estimativa do erro absoluto: