Considerando a função f(x)=x^3-x-1, faça o que se pede: Realize 3 iterações do método da dicotomia e obtenha uma aproximação dessa raiz como também uma estimativa de seu erro;

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício tá pedindo e o que a gente precisa.
Enunciado resumido: “Dada a função
f(x) = x^3 - x - 1,
vamos aplicar 3 iterações do método da dicotomia (bisseção) pra aproximar a raiz e estimar o erro.”
Conteúdo: método da dicotomia (ou biseção).
O que precisamos saber:
  1. Encontrar um intervalo em que e tenham sinais opostos.
  2. Repetir 3 vezes: calcular , ver o sinal de e substituir ou .
  3. Estimar o erro como metade do comprimento do intervalo onde a raiz está.

Passo 2

Primeira iteração:
  1. Escolhe um intervalo inicial. Nota que
f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1 < 0, f(2) = 2^3 - 2 - 1 = 5 > 0
Então a raiz está em m1 = 1 + 22 = 1.5 .
2. Calcula o ponto médio
f(1.5) = (1.5)^3 - 1.5 - 1 = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875 > 0
  1. Avalia a função:
Como e têm sinais opostos ( e ), a raiz está em .

Passo 3

Segunda iteração:
  1. Agora nosso intervalo é m2 = 1 + 1.52 = 1.25 .
  2. Ponto médio
f(1.25) = (1.25)^3 - 1.25 - 1 = 1.953125 - 1.25 - 1 = -0.296875 < 0
  1. Avalia
Como é negativo e era positivo, a raiz agora está em .

Passo 4

Terceira iteração:
  1. Novo intervalo m3 = 1.25 + 1.52 = 1.375 .
  2. Ponto médio
f(1.375) = (1.375)^3 - 1.375 - 1 = 2.599609375 - 1.375 - 1 = 0.224609375 > 0
  1. Avalia
Como era negativo e positivo, a raiz está em .

Passo 5

Estimativa de erro:
No método da bisseção, após 3 iterações o erro máximo é metade do tamanho do último intervalo.
Último intervalo: erro <= 0.1252 = 0.0625 tem comprimento . Então

Resposta

Após 3 iterações, a aproximação da raiz é
x approx 1.375,
com estimativa de erro .

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