Considere um campo escalar phi(x, y, z)=x^2+y^2+z^2. Calcule o gradiente de phi e avalie-o no ponto P(1,2,3).
Utilize coordenadas cartesianas para calcular o gradiente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um campo escalar phi(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 e pede para calcular o gradiente dessa função no ponto P(1,2,3). O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar phi(x, y, z) é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado por:
nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y, partial phipartial z )
Então, nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de phi em relação a x, y e z.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de phi em relação a x:
partial phipartial x = partialpartial x (x^2 + y^2 + z^2) = 2x
Da mesma forma, calculamos as derivadas parciais em relação a y e z:
partial phipartial y = 2y
partial phipartial z = 2z

Passo 4

Agora, juntando tudo, o gradiente de phi é:
nabla phi = (2x, 2y, 2z)

Passo 5

Por fim, vamos avaliar o gradiente no ponto P(1,2,3). Substituímos x = 1, y = 2 e z = 3 na expressão que encontramos:
nabla phi(1,2,3) = (2 cdot 1, 2 cdot 2, 2 cdot 3) = (2, 4, 6)

Resposta

O gradiente de phi no ponto P(1,2,3) é nabla phi(1,2,3) = (2,,4,,6).

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