Considere um campo escalar
. Calcule o gradiente de
e avalie-o no ponto
.
Utilize coordenadas cartesianas para calcular o gradiente.
Utilize coordenadas cartesianas para calcular o gradiente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um campo escalar
e pede para calcular o gradiente dessa função no ponto
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado por:
Então, nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Da mesma forma, calculamos as derivadas parciais em relação a
e
:
Passo 4
Agora, juntando tudo, o gradiente de
é:
Passo 5
Por fim, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituímos
,
e
na expressão que encontramos:
Resposta
O gradiente de
no ponto
é
.