Considere um campo escalar phi(x, y, z)=x^2+y^2+z^2. Calcule o gradiente de phi e avalie-o no ponto P(1,2,3).
Interprete fisicamente o gradiente obtido no ponto P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo escalar dado por phi(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2. Nosso objetivo aqui é calcular o gradiente desse campo ( nabla phi) e depois avaliar esse gradiente no ponto P(1, 2, 3). Depois disso, vamos tentar entender o que esse gradiente significa fisicamente no ponto P. Para isso, vamos precisar saber o que é o gradiente e como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de um campo escalar é um vetor que aponta na direção de maior taxa de variação do campo e cuja magnitude representa a rapidez dessa variação. Matemáticamente, para um campo escalar phi(x, y, z), o gradiente é dado por:
nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y, partial phipartial z )
Então, para encontrar o gradiente, vamos calcular as derivadas parciais de phi em relação a x, y e z.

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a x:
partial phipartial x = partialpartial x (x^2 + y^2 + z^2) = 2x
  1. Derivada parcial em relação a y:
partial phipartial y = partialpartial y (x^2 + y^2 + z^2) = 2y
  1. Derivada parcial em relação a z:
partial phipartial z = partialpartial z (x^2 + y^2 + z^2) = 2z

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente:
nabla phi = ( 2x, 2y, 2z )

Passo 5

Vamos avaliar o gradiente no ponto P(1, 2, 3). Basta substituir x = 1, y = 2 e z = 3 na expressão do gradiente:
nabla phi (1, 2, 3) = ( 2(1), 2(2), 2(3) ) = (2, 4, 6)

Passo 6

Agora, vamos interpretar fisicamente esse resultado. O vetor gradiente (2, 4, 6) no ponto P aponta na direção em que o campo phi aumenta mais rapidamente a partir desse ponto. Além disso, a magnitude desse vetor indica a rapidez com que phi está aumentando nessa direção. Então, no ponto P(1, 2, 3), o campo está crescendo mais rápido na direção do vetor (2, 4, 6).

Resposta

O gradiente de phi no ponto P(1, 2, 3) é (2, 4, 6). Fisicamente, isso indica que no ponto P, o campo phi está aumentando mais rapidamente na direção do vetor (2, 4, 6), e a taxa desse aumento é proporcional ao tamanho desse vetor.

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