Considere um campo escalar
. Calcule o gradiente de
e avalie-o no ponto
.
Interprete fisicamente o gradiente obtido no ponto
.
Interprete fisicamente o gradiente obtido no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo escalar dado por
. Nosso objetivo aqui é calcular o gradiente desse campo (
) e depois avaliar esse gradiente no ponto
. Depois disso, vamos tentar entender o que esse gradiente significa fisicamente no ponto
. Para isso, vamos precisar saber o que é o gradiente e como calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de um campo escalar é um vetor que aponta na direção de maior taxa de variação do campo e cuja magnitude representa a rapidez dessa variação. Matemáticamente, para um campo escalar
, o gradiente é dado por:
Então, para encontrar o gradiente, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente:
Passo 5
Vamos avaliar o gradiente no ponto
. Basta substituir
,
e
na expressão do gradiente:
Passo 6
Agora, vamos interpretar fisicamente esse resultado. O vetor gradiente
no ponto
aponta na direção em que o campo
aumenta mais rapidamente a partir desse ponto. Além disso, a magnitude desse vetor indica a rapidez com que
está aumentando nessa direção. Então, no ponto
, o campo está crescendo mais rápido na direção do vetor
.
Resposta
O gradiente de
no ponto
é
. Fisicamente, isso indica que no ponto
, o campo
está aumentando mais rapidamente na direção do vetor
, e a taxa desse aumento é proporcional ao tamanho desse vetor.