Um disco de raio
tem um furo de raio
em seu centro; este disco furado está carregado com uma carga 22 nC , uniformemente distribuída sobre sua superfície. Calcule o módulo do campo elétrico criado por este disco em um ponto sobre seu eixo, distante de 18 cm do seu centro.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um disco com raio total de 12 cm, mas com um furo central de 8 cm de raio. Esse disco furado está carregado com uma carga total de 22 nC, distribuída de forma uniforme na sua superfície. Queremos calcular o módulo do campo elétrico que esse disco cria em um ponto que está sobre o eixo do disco, a uma distância de 18 cm do centro.
Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o campo elétrico gerado por distribuidores de carga. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular o campo elétrico devido a um disco carregado e adaptar para o caso de ter um furo no centro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por um disco carregado de carga uniformemente distribuída pode ser calculado integrando o campo devido a infinitas anéis concêntricos que compõem o disco. A fórmula geral para o campo elétrico no eixo de um anel carregado é:
Aqui, $ dq $ é a carga de um elemento de anel, $ z $ é a distância ao longo do eixo, $ \rho $ é o raio do anel, e $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Para o nosso disco completo sem o furo, o raio varia de 0 até $ R = 12 $ cm. Porém, como temos um furo de raio $ r = 8 $ cm, precisamos considerar que estamos subtraindo a contribuição do disco que foi removido. Portanto, o campo total será a diferença entre o campo do disco completo e o campo do furo.
Passo 4
Vamos calcular a carga por unidade de área ($ \sigma $) do disco furado. A carga total $ Q = 22 $ nC está distribuída uniformemente na área do disco furado, que é a área do disco total menos a área do furo:
Passo 5
Agora, expressamos a carga $ dq $ de um anel de raio $ \rho $ e espessura $ d\rho $:
Substituindo isso na expressão do campo elétrico:
Simplificando:
Passo 6
Integramos $ dE $ de $ \rho = r $ até $ \rho = R $:
Fazendo a substituição $ u = z^2 + \rho^2 $, a integral se torna:
Passo 7
Resolvendo a integral:
Passo 8
Agora, substituímos os valores numéricos:
- $ \sigma = \frac{22 \times 10^{-9}}{\pi (0.12^2 - 0.08^2)} $ C/m²
- $ R = 0.12 $ m
- $ r = 0.08 $ m
- $ z = 0.18 $ m
- $ \varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} $ C²/(N·m²)
Calculando $ \sigma $:
Passo 9
Substituindo $ \sigma $ e os demais valores na expressão do campo elétrico:
Calculando as raízes:
Passo 10
Continuando os cálculos:
Calculando as frações:
Diferença:
Passo 11
Agora, substituímos de volta:
Calculando o numerador:
Denominador:
Passo 12
Finalmente, o campo elétrico:
Resposta
O módulo do campo elétrico criado pelo disco furado no ponto considerado é de aproximadamente $ 3,96 \times 10^{3}\ N/C $.