Um disco de raio R=12 cm tem um furo de raio r=8 cm em seu centro; este disco furado está carregado com uma carga 22 nC , uniformemente distribuída sobre sua superfície. Calcule o módulo do campo elétrico criado por este disco em um ponto sobre seu eixo, distante de 18 cm do seu centro.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um disco com raio total de 12 cm, mas com um furo central de 8 cm de raio. Esse disco furado está carregado com uma carga total de 22 nC, distribuída de forma uniforme na sua superfície. Queremos calcular o módulo do campo elétrico que esse disco cria em um ponto que está sobre o eixo do disco, a uma distância de 18 cm do centro.
Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o campo elétrico gerado por distribuidores de carga. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular o campo elétrico devido a um disco carregado e adaptar para o caso de ter um furo no centro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por um disco carregado de carga uniformemente distribuída pode ser calculado integrando o campo devido a infinitas anéis concêntricos que compõem o disco. A fórmula geral para o campo elétrico no eixo de um anel carregado é:
dE = 14pi varepsilon0 cdot dq cdot z(z^2 + rho^2)^3/2
Aqui, $ dq $ é a carga de um elemento de anel, $ z $ é a distância ao longo do eixo, $ \rho $ é o raio do anel, e $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Para o nosso disco completo sem o furo, o raio varia de 0 até $ R = 12 $ cm. Porém, como temos um furo de raio $ r = 8 $ cm, precisamos considerar que estamos subtraindo a contribuição do disco que foi removido. Portanto, o campo total será a diferença entre o campo do disco completo e o campo do furo.

Passo 4

Vamos calcular a carga por unidade de área ($ \sigma $) do disco furado. A carga total $ Q = 22 $ nC está distribuída uniformemente na área do disco furado, que é a área do disco total menos a área do furo:
sigma

Passo 5

Agora, expressamos a carga $ dq $ de um anel de raio $ \rho $ e espessura $ d\rho $:
dq
Substituindo isso na expressão do campo elétrico:
rho
Simplificando:
drho

Passo 6

Integramos $ dE $ de $ \rho = r $ até $ \rho = R $:
dE
Fazendo a substituição $ u = z^2 + \rho^2 $, a integral se torna:
rho = r

Passo 7

Resolvendo a integral:
E = sigma z2varepsilon0 ( 1raizz^2 + r^2 - 1raizz^2 + R^2 )

Passo 8

Agora, substituímos os valores numéricos:
  • $ \sigma = \frac{22 \times 10^{-9}}{\pi (0.12^2 - 0.08^2)} $ C/m²
  • $ R = 0.12 $ m
  • $ r = 0.08 $ m
  • $ z = 0.18 $ m
  • $ \varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} $ C²/(N·m²)
Calculando $ \sigma $:
sigma = 22 times 10^-9pi (0.12^2 - 0.08^2) ²

Passo 9

Substituindo $ \sigma $ e os demais valores na expressão do campo elétrico:
sigma
Calculando as raízes:
E = 8,75 times 10^-7 times 0,182 times 8,85 times 10^-12 ( 1raiz0,18^2 + 0,08^2 - 1raiz0,18^2 + 0,12^2 )
raiz0,18^2 + 0,08^2 = raiz0,0324 + 0,0064 = raiz0,0388 approx 0,197 m

Passo 10

Continuando os cálculos:
E = 8,75 times 10^-7 times 0,182 times 8,85 times 10^-12 ( 10,197 - 10,216 )
Calculando as frações:
10,197 approx 5,076 m^-1, 10,216 approx 4,630 m^-1
Diferença:
5,076 - 4,630 = 0,446 m^-1

Passo 11

Agora, substituímos de volta:
E = 8,75 times 10^-7 times 0,182 times 8,85 times 10^-12 times 0,446
Calculando o numerador:
8,75 times 10^-7 times 0,18 times 0,446 approx 7,0125 times 10^-8 C·m^-1
Denominador:
2 times 8,85 times 10^-12 approx 1,77 times 10^-11 C²/(N·m²) ²²

Passo 12

Finalmente, o campo elétrico:
E = 7,0125 times 10^-81,77 times 10^-11 approx 3962 N/C

Resposta

O módulo do campo elétrico criado pelo disco furado no ponto considerado é de aproximadamente $ 3,96 \times 10^{3}\ N/C $.

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