Dois anéis de carga tem mesmo raio, R=20 cm, e estão posicionados de forma que o eixo deles coincida, com os seus centros distantes de 30 cm . Um dos anéis tem carga 30 pC , e o outro tem carga -20 pC . Calcule o módulo do campo elétrico no ponto médio entre os centros dos anéis.

Passo 1

Vamos resolver um problema que envolve calcular o campo elétrico gerado por dois anéis carregados. Temos dois anéis com o mesmo raio $ R = 20 \mathrm{~cm} $, alinhados de forma que seus centros estão separados por 30 cm. Um anel tem uma carga de 30 pC e o outro tem uma carga de -20 pC. Nosso objetivo é encontrar o módulo do campo elétrico no ponto que está exatamente no meio entre os centros dos dois anéis. Para isso, vamos usar a fórmula do campo elétrico gerado por um anel carregado ao longo de seu eixo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por um único anel carregado em um ponto ao longo de seu eixo. A fórmula para o campo elétrico $ E $ devido a um anel de carga $ Q $, raio $ R $, a uma distância $ x $ do centro do anel é:
E
onde $ k = 8{,}988 \times 10^9 , \mathrm{N \cdot m2/C2} $ é a constante eletrostática de Coulomb.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico no ponto médio devido ao primeiro anel que possui carga $ Q_1 = 30 , \mathrm{pC} = 30 \times 10^{-12} , \mathrm{C} $. A distância do ponto médio ao centro desse anel é $ x_1 = 15 , \mathrm{cm} = 0{,}15 , \mathrm{m} $.
Substituindo na fórmula:
Q1 = 30 , pC = 30 times 10^-12 , C
Primeiro, calculamos o denominador:
x1 = 15 , cm = 0,15 , m
Então:
E1 = 8,988 times 10^9 times 30 times 10^-12 times 0,15(0,15^2 + 0,2^2)^3/2
Calculando $ 0{,}0625^{3/2} $:
0,15^2 + 0,2^2 = 0,0225 + 0,04 = 0,0625
Portanto:
E1 = 8,988 times 10^9 times 30 times 10^-12 times 0,150,0625^3/2
Calculando numerador e denominador:
0,0625^3/2

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico no ponto médio devido ao segundo anel com carga $ Q_2 = -20 , \mathrm{pC} = -20 \times 10^{-12} , \mathrm{C} $. A distância do ponto médio ao centro deste anel também é $ x_2 = 15 , \mathrm{cm} = 0{,}15 , \mathrm{m} $.
Usando a mesma fórmula:
Q2 = -20 , pC = -20 times 10^-12 , C
Calculando:
x2 = 15 , cm = 0,15 , m

Resposta

O módulo do campo elétrico total no ponto médio é a soma dos campos de cada anel:
|E| = |E1 + E2| = |2,595 times 10^3 - 1,7256 times 10^3| approx 0,8694 times 10^3 , N/C
Assim, o campo elétrico no ponto médio é aproximadamente $ 869 , \mathrm{N/C} $.

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