Dado o campo vetorial G=r r+z k em coordenadas cilíndricas, calcule o rotacional nabla times G.
Interprete o resultado fisicamente, explicando se o campo possui tendência a gerar circulação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado em coordenadas cilíndricas: G = r, r + z, k. O que a gente precisa fazer é calcular o rotacional desse campo, que é representado por nabla times G. Para isso, vamos usar as fórmulas do cálculo vetorial em coordenadas cilíndricas e entender o que esse resultado significa fisicamente, ou seja, se esse campo tende a gerar circulação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional em coordenadas cilíndricas. A fórmula para o rotacional nabla times G em coordenadas cilíndricas (r, theta, z) é:
nabla times G = ( 1r ( partial Gzpartial theta - partial Gthetapartial z ) ) r + ( partial Grpartial z - partial Gzpartial r ) theta + 1r ( partial (r Gtheta)partial r - partial Grpartial theta ) k
No nosso caso, o campo G é dado por Gr = r, Gtheta = 0 (já que não tem componente na direção theta) e Gz = z.

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional passo a passo.
  1. Componente r:
1r ( partial Gzpartial theta - partial Gthetapartial z )
Como Gz = z, temos partial Gzpartial theta = 0 (porque z não depende de theta). E como Gtheta = 0, partial Gthetapartial z = 0. Então:
1r (0 - 0) = 0
  1. Componente theta:
partial Grpartial z - partial Gzpartial r
Sabendo que Gr = r, temos partial Grpartial z = 0 (porque r não depende de z). E partial Gzpartial r = partial zpartial r = 0 (já que z é independente de r). Então:
0 - 0 = 0
  1. Componente k:
1r ( partial (r Gtheta)partial r - partial Grpartial theta )
Como Gtheta = 0, temos r Gtheta = 0 e, portanto, partial (r Gtheta)partial r = 0. Além disso, Gr = r, então partial Grpartial theta = 0 (pois r não depende de theta). Assim:
1r (0 - 0) = 0

Resposta

O rotacional do campo vetorial G = r, r + z, k é:
nabla times G = 0, r + 0, theta + 0, k = 0
Fisicamente, isso significa que o campo G não possui tendência a gerar circulação. Ou seja, não há rotação ou “giro” associado a esse campo em nenhum ponto do espaço.

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