Dado o campo vetorial
em coordenadas cilíndricas, calcule o rotacional
.
Interprete o resultado fisicamente, explicando se o campo possui tendência a gerar circulação.
Interprete o resultado fisicamente, explicando se o campo possui tendência a gerar circulação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado em coordenadas cilíndricas:
. O que a gente precisa fazer é calcular o rotacional desse campo, que é representado por
. Para isso, vamos usar as fórmulas do cálculo vetorial em coordenadas cilíndricas e entender o que esse resultado significa fisicamente, ou seja, se esse campo tende a gerar circulação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional em coordenadas cilíndricas. A fórmula para o rotacional
em coordenadas cilíndricas
é:
No nosso caso, o campo
é dado por
,
(já que não tem componente na direção
) e
.
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional passo a passo.
- Componente
:
Como
, temos
(porque
não depende de
). E como
,
. Então:
- Componente
:
Sabendo que
, temos
(porque
não depende de
). E
(já que
é independente de
). Então:
- Componente
:
Como
, temos
e, portanto,
. Além disso,
, então
(pois
não depende de
). Assim:
Resposta
O rotacional do campo vetorial
é:
Fisicamente, isso significa que o campo
não possui tendência a gerar circulação. Ou seja, não há rotação ou “giro” associado a esse campo em nenhum ponto do espaço.