Considere o campo do escoamento dado por
onde
ec
. Determine:
a) Número de dimensões do escoamento. Por que?
b) Se ele é um possível escoamento incompressível. Justifique a sua resposta
c) A aceleração de uma partícula fluida no ponto
a) Número de dimensões do escoamento. Por que?
b) Se ele é um possível escoamento incompressível. Justifique a sua resposta
c) A aceleração de uma partícula fluida no ponto
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de velocidades
com
,
e
. Pede-se:
a) Número de dimensões do escoamento.
b) Se é um escoamento incompressível (isto é, ?).
c) A aceleração de uma partícula fluida em .
Vamos usar conceito de dimensão espacial de um fluxo, divergência para incompressibilidade e derivada material para aceleração.
a) Número de dimensões do escoamento.
b) Se é um escoamento incompressível (isto é,
c) A aceleração de uma partícula fluida em
Vamos usar conceito de dimensão espacial de um fluxo, divergência para incompressibilidade e derivada material para aceleração.
Passo 2
Um escoamento é dito
-dimensional se o campo de velocidades depende de
coordenadas espaciais e possui
componentes não nulas. Aqui temos
com
ou seja, cada componente varia com pelo menos uma das coordenadas
. Logo, é um escoamento tridimensional.
Passo 3
Para ser incompressível, precisamos ter
Calculando:
Portanto
que não é zero para todo
. Logo, o escoamento não é incompressível.
Passo 4
A aceleração de uma partícula fluida é dada pela derivada material
Como
não depende de
, o termo local
é zero e fica
cuja componente
é
e similarmente para as componentes
e
.
Passo 5
Primeiro listamos as derivadas parciais:
Então no ponto
temos
,
,
. Agora
Todas as componentes estão em
.
Resposta
(a) É um escoamento de 3 dimensões, pois
varia com
.
(b) Não é incompressível, pois em geral.
(c)
(b) Não é incompressível, pois
(c)