Considere o campo do escoamento dado por \vec{V}=a x^{2} y \hat{\imath}-b y \hat{\jmath}+c z^{2} \hat{k} onde a=1 m^{-2} s^{-1}, b=3 s^{-1} ec =2 m^{-1} s^{-1}. Determine:
a) Número de dimensões do escoamento. Por que?
b) Se ele é um possível escoamento incompressível. Justifique a sua resposta
c) A aceleração de uma partícula fluida no ponto (x, y, z)=(3,1,2)

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidades
\vec{V}(x,y,z)=a\,x^{2}y\,\hat{\imath}\;-\;b\,y\,\hat{\jmath}\;+\;c\,z^{2}\,\hat{k}
com a=1\\ \mathrm{m^{-2}s^{-1}}, b=3\\ \mathrm{s^{-1}} e c=2\\ \mathrm{m^{-1}s^{-1}}. Pede-se:
a) Número de dimensões do escoamento.
b) Se é um escoamento incompressível (isto é, \nabla\cdot\vec{V}=0?).
c) A aceleração de uma partícula fluida em (x,y,z)=(3,1,2).
Vamos usar conceito de dimensão espacial de um fluxo, divergência para incompressibilidade e derivada material para aceleração.

Passo 2

Um escoamento é dito n-dimensional se o campo de velocidades depende de n coordenadas espaciais e possui n componentes não nulas. Aqui temos \vec{V}=\bigl(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)\bigr) com
u=a\,x^{2}y,\quad v=-b\,y,\quad w=c\,z^{2},
ou seja, cada componente varia com pelo menos uma das coordenadas x,y,z. Logo, é um escoamento tridimensional.

Passo 3

Para ser incompressível, precisamos ter
\nabla\cdot\vec{V} =\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z} \overset{?}{=}0.
Calculando:
\frac{\partial u}{\partial x} =2a\,x\,y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} =-b, \quad \frac{\partial w}{\partial z} =2c\,z.
Portanto
\nabla\cdot\vec{V} =2a\,x\,y - b + 2c\,z,
que não é zero para todo (x,y,z). Logo, o escoamento não é incompressível.

Passo 4

A aceleração de uma partícula fluida é dada pela derivada material
\vec{a}=\frac{D\vec{V}}{Dt} =\frac{\partial\vec{V}}{\partial t} +(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Como \vec{V} não depende de t, o termo local \partial\vec{V}/\partial t é zero e fica
\vec{a}=(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V},
cuja componente i é
\frac{Du}{Dt} =u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} +w\frac{\partial u}{\partial z},
e similarmente para as componentes v e w.

Passo 5

Primeiro listamos as derivadas parciais:
\frac{\partial u}{\partial x}=2a\,x\,y, \quad \frac{\partial u}{\partial y}=a\,x^{2}, \quad \frac{\partial u}{\partial z}=0,
\frac{\partial v}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial v}{\partial y}=-b, \quad \frac{\partial v}{\partial z}=0,
\frac{\partial w}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial w}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial w}{\partial z}=2c\,z.
Então no ponto (3,1,2) temos u=a\cdot3^{2}\cdot1=9, v=-b\cdot1=-3, w=c\cdot2^{2}=8. Agora
\frac{Du}{Dt} =9\,(2a\cdot3\cdot1)+(-3)\,(a\cdot3^{2})+8\cdot0 =9\cdot(2\cdot1\cdot3\cdot1)-3\cdot(1\cdot9) =54-27=27,
\frac{Dv}{Dt} =9\cdot0+(-3)\,(-b)+8\cdot0 =3\cdot3=9,
\frac{Dw}{Dt} =9\cdot0+(-3)\cdot0+8\,(2c\cdot2) =8\cdot(2\cdot2\cdot2)=8\cdot8=64.
Todas as componentes estão em \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

(a) É um escoamento de 3 dimensões, pois \vec{V} varia com x,y,z.
(b) Não é incompressível, pois \nabla\cdot\vec{V}=2a\,x\,y - b +2c\,z\neq0 em geral.
(c) \displaystyle \vec{a}(3,1,2)=27\,\hat{\imath}+9\,\hat{\jmath}+64\,\hat{k}\quad[\mathrm{m/s^{2}}].

Exercícios relacionados