Dois cilindros ocos e concêntricos são usados para formar uma única tubulação composta que deverá transportar um fluido que muda de fase, usado no sistema de refrigeração de computadores de alto desempenho do departamento de engenharia mecânica da USP. A temperatura do fluido que muda de fase fica na ordem de 15^{\circ} \mathrm{C} com um coeficiente de película de 2500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. O cilindro menor em contato com o fluido que muda de fase possui um raio interno de 3 mm e externo de 4 mm . Já o cilindro maior possui um raio externo de 5 mm . Na junção entre os dois cilindros, devido ao sistema de montagem forçada poderá aparecer uma resistência térmica de contato com valor significativo. O cilindro maior mantém uma temperatura de 70^{\circ} \mathrm{C} na sua superficie externa que troca calor por convecção com um meio externo a 90^{\circ} \mathrm{C} e 10 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{C}. Essa superficie tem uma emissividade de 0,8 e uma área útil de troca de calor de 0,1 \mathrm{~m}^{2}. Próxima à tubulação composta fica uma vizinhança que é mantida a 120^{\circ} \mathrm{C} de 1 \mathrm{~m}^{2} e com uma emissividade de 0,4 . Essa vizinhança tem uma troca de calor por convecção com o meio externo desprezível. O conjunto possui um comprimento de 3,2 m e o cilindro interno tem uma condutividade térmica de 300 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} e o cilindro externo de 45 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}. Considerando que a troca de calor predominante é no sentido radial e o conjunto se encontra em regime permanente, determine:
(2,0) a) O valor da troca de calor líquida entre a vizinhança e a superficie.
(2,0) b) O valor da troca de calor convectiva entre o meio externo e a superficie externa da tubulação composta.
(1,0) c) O valor da resistência térmica de contato em [K/W].

Passo 1

A tubulação é formada por dois cilindros concêntricos de comprimento L=3{,}2\;\mathrm m. No interior circula o fluido a T_\mathrm{f}=15^\circ\mathrm C com coeficiente de película h_\mathrm{i}=2500\;\mathrm{W/m^2K}, tocando o cilindro interno (raio interno r_1=3\;\mathrm{mm}, raio externo r_2=4\;\mathrm{mm}, condutividade k_1=300\;\mathrm{W/mK}). O cilindro externo tem raio externo r_3=5\;\mathrm{mm}, condutividade k_2=45\;\mathrm{W/mK} e superfície externa a T_s=70^\circ\mathrm C, área de troca A_s=0{,}1\;\mathrm m^2, coeficiente convectivo h_\mathrm{e}=10\;\mathrm{W/m^2K} com meio a 90^\circ\mathrm C e emissividade \varepsilon_s=0{,}8. Próxima à tubulação há uma vizinhança a T_v=120^\circ\mathrm C, área A_v=1\;\mathrm m^2, emissividade \varepsilon_v=0{,}4, sem convecção externa relevante. Em regime permanente, a) calcular a troca de calor líquida por radiação entre vizinhança e superfície; b) calcular a troca de calor convectiva entre meio externo e superfície; c) determinar a resistência térmica de contato R_c em \mathrm{K/W}.

Passo 2

Para (b), o calor por convecção do meio externo T_\infty=90^\circ\mathrm C para a superfície T_s=70^\circ\mathrm C é
Q_\mathrm{conv} = h_\mathrm{e}\,A_s\,(T_\infty - T_s) =10\cdot0{,}1\,(90-70) =20\;\mathrm W.

Passo 3

Para (a), usamos o modelo de troca radiativa entre duas superfícies paralelas com fator de vista F=1. A resistência equivalente é
R_{\rm rad} = \frac{1-\varepsilon_s}{\varepsilon_s\,A_s\,\sigma} +\frac{1}{A_s\,\sigma} +\frac{1-\varepsilon_v}{\varepsilon_v\,A_v\,\sigma},
onde \sigma=5{,}67\times10^{-8}\;\mathrm{W/m^2K^4}.
Calculando numericamente,
R_{\rm rad}\approx2{,}47\times10^8\;\mathrm{K^4/W}, \quad T_v=393{,}15\;\mathrm K,\;T_s=343{,}15\;\mathrm K,
Q_{\rm rad} =\frac{T_v^4 - T_s^4}{R_{\rm rad}} \approx 40\;\mathrm W.

Passo 4

O calor total que entra na superfície é
Q_{\rm tot}=Q_{\rm conv}+Q_{\rm rad}=20+40=60\;\mathrm W.
A queda total de temperatura da superfície até o fluido é \Delta T=70-15=55\;\mathrm K, logo a resistência térmica total é
R_{\rm tot}=\frac{\Delta T}{Q_{\rm tot}}=\frac{55}{60}\approx0{,}9167\;\mathrm{K/W}.
As resistências conhecidas em série são: \displaystyle R_{\rm filme}=\frac{1}{h_i\,A_i} com A_i=2\pi r_1 L\approx0{,}0603\;\mathrm m^2,
R_{\rm filme}\approx\frac{1}{2500\cdot0{,}0603}\approx0{,}00663\;\mathrm{K/W},
R_{\rm c1}=\frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k_1 L}\approx4{,}77\times10^{-5}\;\mathrm{K/W}, \quad R_{\rm c2}=\frac{\ln(r_3/r_2)}{2\pi k_2 L}\approx2{,}47\times10^{-4}\;\mathrm{K/W}.

Passo 5

Isolando a resistência de contato R_c em
R_{\rm tot}=R_{\rm filme}+R_{\rm c1}+R_c+R_{\rm c2},
vem
R_c =R_{\rm tot}-\bigl(R_{\rm filme}+R_{\rm c1}+R_{\rm c2}\bigr) \approx0{,}9167-(0{,}00663+0{,}0000477+0{,}000247)\approx0{,}910\;\mathrm{K/W}.

Resposta

(a) Q_{\rm rad}\approx40\;\mathrm W.
(b) Q_{\rm conv}\approx20\;\mathrm W.
(c) R_c\approx0{,}91\;\mathrm{K/W}.

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