Durante o desenvolvimento de um sistema de proteção térmica para um satélite de observação espacial, engenheiros criaram um protótipo de painel plano com capacidade de bloquear radiações de grande comprimento de onda. O painel de espessura L foi projetado para receber radiação em apenas um dos lados, mantendo uma temperatura superficial de \mathrm{T}_{0}, enquanto o lado oposto foi totalmente isolado termicamente, impedindo qualquer perda de calor. A equipe do projeto adotou uma abordagem inovadora para incorporar os efeitos da radiação diretamente na formulação matemática do problema, representando esses efeitos como um termo volumétrico de geração (ou absorção) de calor equivalente. A função empírica obtida para modelar essa influência interna da radiação na parede foi:
\dot{q}(x)=E_{G}\left(1-\frac{x}{L}\right)
\left[\mathrm{W} / \mathrm{m}^{3}\right]
Onde x representa a posição no eixo de coordenadas em [m]. Com os efeitos da radiação “internalizados” no modelo, permitindo a análise térmica sem interações externas: (2,0) a) Determine a expressão para a distribuição de temperatura T(x) na parede. (2,0) b) Determine o fluxo de calor na parede \mathrm{E}_{\mathrm{G}}=-33 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{3}.
c) Determine a posição em [\mathrm{m}] e o valor da menor temperatura em \left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right].
Passo 1
O enunciado descreve um painel plano de espessura L em regime estacionário, com geração volumétrica de calor devido à radiação interna
\dot q(x)=E_{G}\bigl(1-\tfrac{x}{L}\bigr)\,,
onde o lado em x=0 está mantido à temperatura \mathrm{T}_{0} e o lado em x=L é perfeitamente isolado dT/dx\bigl|_{x=L}=0.
O conteúdo da matéria é condução unidimensional com geração interna. Vamos usar a equação de Fourier em regime estacionário