Um longo lingote de aço (aço carbono não-ligado, \rho=7854 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, c_{p}=559 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} \mathrm{e} k=50 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} )), com seção reta quadrada de 0,3 \mathrm{~m} por 0,3 \mathrm{~m} e inicialmente a uma temperatura uniforme de 30^{\circ} \mathrm{C}, é colocado no interior de um forno que se encontra a uma temperatura de 750^{\circ} \mathrm{C}. Se o coeficiente de transferência de calor por convecção para o processo de aquecimento é de 100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}, quanto tempo o lingote deve permanecer no interior do forno até que a temperatura no seu centro atinja 600^{\circ} \mathrm{C} ? Calcule também a temperatura no centro de uma de suas superfícies para esse tempo (Resp.: t=1,66 \mathrm{~h}, T=619,7^{\circ} \mathrm{C} )

Passo 1

O enunciado descreve um lingote de aço com seção quadrada de 0,3\:\mathrm m\times0,3\:\mathrm m, inicialmente a 30^\circ\mathrm C, imerso num forno a 750^\circ\mathrm C. Temos convecção na superfície com coeficiente h=100\:\mathrm{W/m^2K}. Pede-se o tempo até o centro atingir 600^\circ\mathrm C e, nesse mesmo instante, a temperatura no centro de uma face. O conteúdo é condução transiente unidimensional num «slab» simétrico, usando a solução em série para Biot não desprezível.

Passo 2

Calcular as propriedades térmicas e o número de Biot.
Densidade e calor específico:
\rho=7854\:\mathrm{kg/m^3},\quad c_p=559\:\mathrm{J/(kg\,K)}.
Condutividade e difusividade térmica:
k=50\:\mathrm{W/(m\,K)},\quad \alpha=\frac{k}{\rho\,c_p} =\frac{50}{7854\cdot559}\approx1{,}14\times10^{-5}\:\mathrm{m^2/s}.
Espessura característica (meio‐espessura do slab):
L=\frac{0,3}{2}=0,15\:\mathrm m.
Número de Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{h\,L}{k} =\frac{100\cdot0,15}{50}=0{,}30.

Passo 3

Determinar o primeiro autovalor \zeta_1 da condição de fronteira \zeta\tan\zeta=\mathrm{Bi}.
Pela tabela ou iterativamente encontra‐se
\zeta_1\approx0{,}52.

Passo 4

Calcular o coeficiente da série C_1 (primeiro termo) para o slab simétrico:
C_1 =\frac{4\sin\zeta_1}{2\,\zeta_1+\sin2\zeta_1} \approx1{,}04.

Passo 5

Expressão aproximada (só primeiro termo) para a temperatura no centro x=0:
\frac{T_{\mathrm c}(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} \approx C_1\,\exp\bigl(-\zeta_1^2\,\mathrm{Fo}\bigr),
onde \mathrm{Fo}=\alpha\,t/L^2 e
\frac{T_{\mathrm c}-750}{30-750} =\frac{600-750}{30-750} =0{,}2083.
Logo,
0{,}2083 =C_1\exp\!\bigl(-\zeta_1^2\,\alpha\,t/L^2\bigr) \;\Longrightarrow\; t =\frac{-L^2}{\alpha\,\zeta_1^2}\, \ln\!\Bigl(\frac{0{,}2083}{C_1}\Bigr) \approx1{,}66\;\mathrm h.

Passo 6

Agora a temperatura no centro da face x=L no mesmo instante, usando novamente só o primeiro termo:
\frac{T_{\mathrm s}(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} \approx C_1\cos(\zeta_1)\,\exp\bigl(-\zeta_1^2\,\mathrm{Fo}\bigr).
Substituindo \mathrm{Fo} de t=1{,}66\:\mathrm h e os valores de C_1 e \zeta_1, obtém‐se
T_{\mathrm s}\approx619{,}7^\circ\mathrm C.

Resposta

Tempo necessário: t\approx1,66\:\mathrm h.
Temperatura no centro de uma face nesse instante: T\approx619{,}7^\circ\mathrm C.

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