Escreva uma integral que forneça a área da superfície cortada do hemisfério
, com
pelo cilindro
. Sua resposta final deve ser escrita em coordenadas cilíndricas. Não avalie a integral.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um hemisfério definido pela equação
com
e um cilindro dado por
. O objetivo é encontrar a área da parte do hemisfério que é cortada por esse cilindro. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para lidar com formas circulares como esferas e cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações do hemisfério e do cilindro para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
A equação do hemisfério
se transforma em:
Isso pode ser resolvido para
:
A equação do cilindro
expande para:
Simplificando:
Substituindo
e
por suas expressões em coordenadas cilíndricas:
Isso dá:
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
.
- Para
, ele varia de 0 até , que é a expressão do cilindro. - Para
, como deve ser positivo, também deve ser positivo. Assim, varia de a .
Passo 4
A fórmula para a área de uma superfície em coordenadas cilíndricas é dada por:
Para nossa superfície
:
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Multiplicando pelo
da medida em coordenadas cilíndricas, a integral para a área fica:
Resposta
A integral que fornece a área da superfície é: