Escreva uma integral que forneça a área da superfície cortada do hemisfério x^2 + y^2 + z^2 = 6, com z ≥ 0 pelo cilindro (x-1)² + y² = 1. Sua resposta final deve ser escrita em coordenadas cilíndricas. Não avalie a integral.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um hemisfério definido pela equação com e um cilindro dado por . O objetivo é encontrar a área da parte do hemisfério que é cortada por esse cilindro. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para lidar com formas circulares como esferas e cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações do hemisfério e do cilindro para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
A equação do hemisfério se transforma em:
Isso pode ser resolvido para :
A equação do cilindro expande para:
Simplificando:
Substituindo e por suas expressões em coordenadas cilíndricas:
Isso dá:

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para e .
  • Para , ele varia de 0 até , que é a expressão do cilindro.
  • Para , como deve ser positivo, também deve ser positivo. Assim, varia de a .

Passo 4

A fórmula para a área de uma superfície em coordenadas cilíndricas é dada por:
Para nossa superfície :
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Multiplicando pelo da medida em coordenadas cilíndricas, a integral para a área fica:

Resposta

A integral que fornece a área da superfície é:

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