Considere o campo de forças definido em
por
(b) Seja
a curva de parametrização
. Calcule o trabalho realizado pelo campo
ao longo de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o trabalho realizado por um campo de forças
ao longo de uma curva
parametrizada por
no intervalo de
de
a
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de linha para encontrar o trabalho realizado pelo campo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva. Matemática vezes! O trabalho
é dado pela integral de linha:
Isso significa que vamos integrar o produto escalar do campo de forças
com o diferencial do vetor de posição
ao longo da curva
.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva
com
, onde
varia de
a
. Isso nos ajuda a expressar
e
em termos de
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor derivada
, que representa
:
Então,
.
Passo 5
Em seguida, substituímos
e
em
pela parametrização em termos de
:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Finalmente, integramos essa expressão de
a
:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 8
Integramos cada termo separadamente:
Resposta
Então, o trabalho realizado pelo campo
ao longo da curva
é: