Considere o campo de forças definido em R^2 por
F(x, y)=(y^3+sen x) i+(3 x y^2+sen y) j
(b) Seja C a curva de parametrização r(t)=(t, t), 0 <= t <= pi. Calcule o trabalho realizado pelo campo F ao longo de C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o trabalho realizado por um campo de forças F(x, y) ao longo de uma curva C parametrizada por r(t) = (t, t) no intervalo de t de 0 a pi. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de linha para encontrar o trabalho realizado pelo campo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva. Matemática vezes! O trabalho W é dado pela integral de linha:
W = integralC F cdot dr
Isso significa que vamos integrar o produto escalar do campo de forças F com o diferencial do vetor de posição r ao longo da curva C.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva C com r(t) = (t, t), onde t varia de 0 a pi. Isso nos ajuda a expressar x e y em termos de t:
x = t y = t

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor derivada drdt, que representa dr:
drdt = (dxdt, dydt) = (1, 1)
Então, dr = (1, 1) dt.

Passo 5

Em seguida, substituímos x e y em F(x, y) pela parametrização em termos de t:
F(t, t) = (t^3 + sin t) i + (3t cdot t^2 + sin t) j = (t^3 + sin t) i + (3t^3 + sin t) j

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (t^3 + sin t)(1) + (3t^3 + sin t)(1) = t^3 + sin t + 3t^3 + sin t = 4t^3 + 2sin t

Passo 7

Finalmente, integramos essa expressão de t = 0 a t = pi:
W = integral0^pi (4t^3 + 2sin t) dt
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 8

Integramos cada termo separadamente:
integral0^pi 4t^3 dt = 4 cdot [t^44]0^pi = [t^4]0^pi = pi^4 - 0 = pi^4
integral0^pi 2sin t dt = 2 cdot [-cos t]0^pi = 2 cdot [-cos pi + cos 0] = 2 cdot [-(-1) + 1] = 2 cdot (1 + 1) = 4

Resposta

Então, o trabalho realizado pelo campo F ao longo da curva C é:
W = pi^4 + 4

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