Determine, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais de:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar se existem assíntotas horizontais e verticais para a função
. Vamos precisar entender um pouco sobre o que são assíntotas e como encontrá-las em funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas aparecem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero (desde que o numerador não seja zero no mesmo ponto). Para encontrar essas assíntotas, vamos igualar o denominador a zero:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então, temos possíveis assíntotas verticais em
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se realmente são assíntotas verticais. Precisamos ver os limites da função quando
se aproxima de 3 e de -3.
Quando
se aproxima de 3:
E quando
se aproxima de -3:
Como os limites tendem ao infinito, confirmamos que
e
são realmente assíntotas verticais.
Passo 4
Agora, vamos para as assíntotas horizontais. Essas indicam o comportamento da função quando
tende ao infinito positivo ou negativo. Vamos calcular os limites:
Isso significa que a função se aproxima de
quando
vai para
e de
quando
vai para
.
Resposta
A função possui assíntotas verticais em
e
, e assíntotas horizontais em
e
.