Determine, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais de:
f(x)=raiz5 xraizx^2-9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar se existem assíntotas horizontais e verticais para a função f(x) = raiz5 , xraizx^2 - 9 . Vamos precisar entender um pouco sobre o que são assíntotas e como encontrá-las em funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas aparecem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero (desde que o numerador não seja zero no mesmo ponto). Para encontrar essas assíntotas, vamos igualar o denominador a zero:
raizx^2 - 9 = 0
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x^2 - 9 = 0 x^2 = 9 x = pm 3
Então, temos possíveis assíntotas verticais em x = 3 e x = -3 .

Passo 3

Agora, vamos verificar se realmente são assíntotas verticais. Precisamos ver os limites da função quando x se aproxima de 3 e de -3.
Quando x se aproxima de 3:
limx to 3^+ f(x) = limx to 3^+ raiz5 , xraizx^2 - 9 = +infty
E quando x se aproxima de -3:
limx to -3^- f(x) = limx to -3^- raiz5 , xraizx^2 - 9 = -infty
Como os limites tendem ao infinito, confirmamos que x = 3 e x = -3 são realmente assíntotas verticais.

Passo 4

Agora, vamos para as assíntotas horizontais. Essas indicam o comportamento da função quando x tende ao infinito positivo ou negativo. Vamos calcular os limites:
limx to +infty f(x) = limx to +infty raiz5 , xraizx^2 - 9 = raiz5
limx to -infty f(x) = limx to -infty raiz5 , xraizx^2 - 9 = -raiz5
Isso significa que a função se aproxima de raiz5 quando x vai para +infty e de -raiz5 quando x vai para -infty .

Resposta

A função possui assíntotas verticais em x = 3 e x = -3 , e assíntotas horizontais em y = raiz5 e y = -raiz5 .

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