Determine, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais de:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta sobre as assíntotas horizontais e verticais da função
.
Conteúdo da matéria: Assíntotas de funções racionais.
O que vamos precisar: Entender como identificar assíntotas verticais e horizontais analisando o comportamento da função quando
se aproxima de certos valores.
Passo 2
Assíntotas Verticais.
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função se aproxima de zero, mas o numerador não se anula no mesmo ponto, fazendo com que a função “exploda” para
ou
.
Para nossa função
:
- Denominador:
- Encontramos onde
→
Agora, verificamos o numerador em
:
- Numerador:
(que não é zero)
Então, existe uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Assíntotas Horizontais.
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais, que estão relacionadas ao comportamento da função quando
tende para
ou
.
Para
, analisamos o limite quando
vai para
e
.
Primeiro, observamos que quando
tende para
ou
,
tende para 0. Então,
tende para
.
Portanto, a função simplifica para:
Dividindo o numerador e o denominador por
:
Então, a função se aproxima de 1 quando
vai para
ou
, indicando uma assíntota horizontal em
.
Resposta
A função
possui:
- Assíntota Vertical: em
- Assíntota Horizontal: em