Determine, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais de:
g(x)=x e^1 / xx-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta sobre as assíntotas horizontais e verticais da função g(x) = x e^1 / xx - 1 .
Conteúdo da matéria: Assíntotas de funções racionais.
O que vamos precisar: Entender como identificar assíntotas verticais e horizontais analisando o comportamento da função quando x se aproxima de certos valores.

Passo 2

Assíntotas Verticais.
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função se aproxima de zero, mas o numerador não se anula no mesmo ponto, fazendo com que a função “exploda” para +infty ou -infty .
Para nossa função g(x) = x e^1 / xx - 1 :
  • Denominador: x - 1
  • Encontramos onde x - 1 = 0 x = 1
Agora, verificamos o numerador em x = 1 :
  • Numerador: x e^1 / x = 1 cdot e^1/1 = e (que não é zero)
Então, existe uma assíntota vertical em x = 1 .

Passo 3

Assíntotas Horizontais.
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais, que estão relacionadas ao comportamento da função quando x tende para +infty ou -infty .
Para g(x) = x e^1 / xx - 1 , analisamos o limite quando x vai para infty e -infty .
Primeiro, observamos que quando x tende para infty ou -infty , 1x tende para 0. Então, e^1/x tende para e^0 = 1 .
Portanto, a função simplifica para:
limx to pminfty x cdot 1x - 1 = limx to pminfty xx - 1
Dividindo o numerador e o denominador por x :
limx to pminfty 11 - 1x = 11 - 0 = 1
Então, a função se aproxima de 1 quando x vai para infty ou -infty , indicando uma assíntota horizontal em y = 1 .

Resposta

A função g(x) = x e^1 / xx - 1 possui:
  • Assíntota Vertical: em x = 1
  • Assíntota Horizontal: em y = 1

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