(2.0 pontos) Determine z^{7} quando
z=\pi \sqrt{3}+\pi i .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência de um número complexo z, sendo
z = \pi \sqrt{3} + \pi\,i.
O método mais direto é escrever z na forma polar e usar o Teorema de De Moivre para elevar à sétima potência.

Passo 2

Fatoramos \pi e identificamos o módulo r e o argumento \theta.
z = \pi(\sqrt{3} + i).
O módulo é
r = |z| = \pi \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \pi \sqrt{3 + 1} = 2\pi,
e o argumento é
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) = \frac{\pi}{6}.

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre,
z^{7} = r^{7}\bigl[\cos(7\theta)+i\sin(7\theta)\bigr] = (2\pi)^{7}\bigl[\cos\bigl(7\cdot\tfrac{\pi}{6}\bigr)+i\sin\bigl(7\cdot\tfrac{\pi}{6}\bigr)\bigr].

Passo 4

Calculamos as funções trigonométricas em 7\pi/6:
\cos\!\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\!\bigl(\tfrac{7\pi}{6}\bigr) = -\frac{1}{2}.
Portanto,
\cos\bigl(7\tfrac{\pi}{6}\bigr)+i\sin\bigl(7\tfrac{\pi}{6}\bigr) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \;-\;\frac{i}{2} = -\frac{1}{2}\,(\sqrt{3}+i).

Passo 5

Multiplicando pelo fator (2\pi)^{7}, temos
z^{7} = (2\pi)^{7}\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{2}(\sqrt{3}+i)\Bigr) = -\frac{(2\pi)^{7}}{2}\,(\sqrt{3}+i) = -2^{6}\,\pi^{7}\,(\sqrt{3}+i) = -64\,\pi^{7}\,(\sqrt{3}+i).

Resposta

z^{7} = -64\,\pi^{7}\,(\sqrt{3} + i).

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