Exercício 4.6 Um fio de comprimento l e carga +q está localizada ao longo do eixo x de um sistema de coordenadas cartesianas, estendendo desde a origem até x=-l. Qual é o potencial elétrico devido ao fio na posição positiva do eixo x a uma distância d da origem?

Passo 1

O enunciado descreve um fio retilíneo de comprimento l e carga total +q uniformemente distribuída, estendendo‐se de x=-l até x=0 ao longo do eixo x. Queremos o potencial elétrico V num ponto P também no eixo x, mas em x=+d com d>0. O conteúdo usado aqui é a expressão do potencial gerado por uma distribuição contínua de carga:
V(P)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathrm{d}q}{r}\,,
onde r é a distância entre o elemento de carga \mathrm{d}q e o ponto P.

Passo 2

Definimos a densidade linear de carga
\lambda = \frac{q}{l}\,,
de modo que, para um elemento infinitesimal de comprimento \mathrm{d}x no fio, temos
\mathrm{d}q = \lambda\,\mathrm{d}x = \frac{q}{l}\,\mathrm{d}x.
Em seguida, determinamos a distância r entre um ponto x no fio e o ponto P em x=d. Como x varia de -l até 0,
r = d - x.

Passo 3

Substituímos na expressão do potencial:
V(d) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{x=-l}^{0} \frac{\mathrm{d}q}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_{-l}^{0} \frac{\lambda\,\mathrm{d}x}{d - x} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0} \int_{-l}^{0} \frac{\mathrm{d}x}{d - x}.

Passo 4

Calculemos a integral
\int_{-l}^{0} \frac{\mathrm{d}x}{d - x}.
Fazendo a primitiva, note que
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl[-\ln(d - x)\bigr] = \frac{1}{d - x}.
Logo
\int_{-l}^{0} \frac{\mathrm{d}x}{d - x} = \bigl[-\ln(d - x)\bigr]_{x=-l}^{x=0} = -\ln(d) + \ln(d + l) = \ln\!\bigl(\frac{d + l}{d}\bigr).

Passo 5

Substituindo de volta em V(d) e lembrando \lambda = q/l, obtemos
V(d) = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\,\ln\!\bigl(\tfrac{d + l}{d}\bigr) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\,l} \ln\!\Bigl(1 + \frac{l}{d}\Bigr).

Resposta

V(d) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\,l} \ln\!\Bigl(1 + \frac{l}{d}\Bigr).

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