Exercício 4.6 Um fio de comprimento
e carga
está localizada ao longo do eixo
de um sistema de coordenadas cartesianas, estendendo desde a origem até
. Qual é o potencial elétrico devido ao fio na posição positiva do eixo
a uma distância
da origem?
Passo 1
O enunciado descreve um fio retilíneo de comprimento
e carga total
uniformemente distribuída, estendendo‐se de
até
ao longo do eixo
. Queremos o potencial elétrico
num ponto
também no eixo
, mas em
com
. O conteúdo usado aqui é a expressão do potencial gerado por uma distribuição contínua de carga:
onde
é a distância entre o elemento de carga
e o ponto
.
Passo 2
Definimos a densidade linear de carga
de modo que, para um elemento infinitesimal de comprimento
no fio, temos
Em seguida, determinamos a distância
entre um ponto
no fio e o ponto
em
. Como
varia de
até
,
Passo 3
Substituímos na expressão do potencial:
Passo 4
Calculemos a integral
Fazendo a primitiva, note que
Logo
Passo 5
Substituindo de volta em
e lembrando
, obtemos