Um modelo reduzido de avião é testado em um túnel de vento. O protótipo tem L_{p}=20 \mathrm{~m}, V_{p}=250 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \rho_{p}=1.225 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mu_{p}=1.81 \times 10^{-5} \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s} . \mathrm{O} modelo tem L_{m}=0.5 \mathrm{~m}, \rho_{m}=1.2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mu_{m}=1.8 \times 10^{-5} \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s}.
Determine a velocidade V_{m} para similaridade baseada no número de Reynolds.

Passo 1

O enunciado nos dá um protótipo de avião e um modelo em túnel de vento, cujas características são:
– Protótipo: comprimento L_{p}=20,m, velocidade V_{p}=250,m/s, densidade \rho_{p}=1{,}225,kg/ m^{3} e viscosidade \mu_{p}=1{,}81\times10^{-5},P a\cdot s.
– Modelo: comprimento L_{m}=0{,}5,m, densidade \rho_{m}=1{,}2,kg/ m^{3} e viscosidade \mu_{m}=1{,}8\times10^{-5},P a\cdot s.
Queremos achar a velocidade V_{m} do modelo de forma que o número de Reynolds seja o mesmo no modelo e no protótipo (sem levar em conta efeitos compressíveis).

Passo 2

O número de Reynolds é definido como
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,V\,L}{\mu}.
Para o protótipo isso dá
\mathrm{Re}_{p} = \frac{\rho_{p}\,V_{p}\,L_{p}}{\mu_{p}},
e para o modelo
\mathrm{Re}_{m} = \frac{\rho_{m}\,V_{m}\,L_{m}}{\mu_{m}}.

Passo 3

Impondo similaridade hidráulica pelo Reynolds, temos \mathrm{Re}_{m}=\mathrm{Re}_{p}. Logo,
\frac{\rho_{m}\,V_{m}\,L_{m}}{\mu_{m}} = \frac{\rho_{p}\,V_{p}\,L_{p}}{\mu_{p}}.
Isolando V_{m}:
V_{m} = V_{p}\,\frac{\rho_{p}}{\rho_{m}} \frac{L_{p}}{L_{m}} \frac{\mu_{m}}{\mu_{p}}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
V_{m} = 250\, \frac{1{,}225}{1{,}2} \frac{20}{0{,}5} \frac{1{,}8\times10^{-5}}{1{,}81\times10^{-5}}.
Calculemos passo a passo:
\frac{1{,}225}{1{,}2}\approx1{,}0208,\quad \frac{20}{0{,}5}=40,\quad \frac{1{,}8\times10^{-5}}{1{,}81\times10^{-5}}\approx0{,}9945.
Multiplicando tudo:
V_{m}\approx250\times1{,}0208\times40\times0{,}9945\approx1,015\times10^{4}\,\text{m/s}.

Resposta

V_{m}\approx1,02\times10^{4},m/s.

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