Considere o campo de vetores
F(x, y)=(3 xraizx^2+y^4, 6 y^3raizx^2+y^4)
(a) Ache um potencial para F.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função f(x,y) tal que o campo de vetores
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r)
seja igual ao gradiente de f, ou seja
partial fpartial x=P(x,y)=3xraizx^2+y^4 e partial fpartial y=Q(x,y)=6y^3raizx^2+y^4
O conteúdo é o de potenciais de campos conservativos, e vamos precisar integrar P em relação a x e ajustar uma função de y.

Passo 2

Integramos
partial fpartial x =3xraizx^2+y^4
em relação a x. Observe que
ddxl(raizx^2+y^4r) =xraizx^2+y^4,
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f(x,y) =integral 3xraizx^2+y^4,dx =3,raizx^2+y^4+g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 3

Para determinar g(y), calculamos
partial fpartial y =partialpartial yl(3raizx^2+y^4+g(y)r) =3cdot12raizx^2+y^4cdot 4y^3+g'(y) =6y^3raizx^2+y^4+g'(y)
Devemos ter partial f/partial y=Q(x,y)=6y^3/raizx^2+y^4, o que implica g'(y)=0.

Passo 4

Como g'(y)=0, concluímos que g(y) é constante. Podemos escolher essa constante igual a zero (ou alguma constante C qualquer).

Resposta

f(x,y)=3raizx^2+y^4+C,
sendo C uma constante arbitrária.

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