Encontre a área do triângulo determinado pelos pontos .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de um triângulo que é formado pelos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço tridimensional, como vetores e produto vetorial. Vamos precisar calcular vetores que representem os lados do triângulo e depois usar o produto vetorial para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo. Vamos calcular os vetores e .
Para achar , subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Para achar , subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Passo 3
Agora que temos os vetores e , vamos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional nos dá um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais, e a magnitude desse vetor é igualárea do paralelogramo formado pelos vetores.
Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial PQ times PR = (8, 4, 4) , vamos calcular a magnitude desse vetor. A magnitude de um vetor (a, b, c) é dada por:
A área do paralelogramo formado pelos vetores PQ e PR é igual à magnitude do produto vetorial, que acabamos de calcular como 4raiz6 . Mas, como queremos a área do triângulo, que é metade da área do paralelogramo, fazemos:
Área do triângulo = 12 times 4raiz6 = 2raiz6 Áâ
Resposta
A área do triângulo determinado pelos pontos P , Q e R é 2raiz6 unidades de área.