Encontre a área do triângulo determinado pelos pontos P(1,-1,2), Q(2,0,-1), R(0,2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de um triângulo que é formado pelos pontos P(1,-1,2) , Q(2,0,-1) e R(0,2,1) . Para isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço tridimensional, como vetores e produto vetorial. Vamos precisar calcular vetores que representem os lados do triângulo e depois usar o produto vetorial para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo. Vamos calcular os vetores PQ e PR .
Para achar PQ , subtraímos as coordenadas de P das coordenadas de Q :
PQ = Q - P = (2-1, , 0-(-1), , -1-2) = (1, , 1, , -3)
Para achar PR , subtraímos as coordenadas de P das coordenadas de R :
PR = R - P = (0-1, , 2-(-1), , 1-2) = (-1, , 3, , -1)

Passo 3

Agora que temos os vetores PQ = (1, 1, -3) e PR = (-1, 3, -1) , vamos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional nos dá um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais, e a magnitude desse vetor é igualárea do paralelogramo formado pelos vetores.
A fórmula do produto vetorial PQ times PR é:
PQ times PR = i & j & k 1 & 1 & -3 -1 & 3 & -1
Calculando o determinante:
PQ times PR = i(1 cdot (-1) - (-3) cdot 3) - j(1 cdot (-1) - (-3) cdot (-1)) + k(1 cdot 3 - 1 cdot (-1))
= i(-1 + 9) - j(-1 - 3) + k(3 + 1)
= i(8) - j(-4) + k(4)
= (8, 4, 4)

Passo 4

Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial PQ times PR = (8, 4, 4) , vamos calcular a magnitude desse vetor. A magnitude de um vetor (a, b, c) é dada por:
| v | = raiza^2 + b^2 + c^2
Então, para (8, 4, 4) :
| PQ times PR | = raiz8^2 + 4^2 + 4^2 = raiz64 + 16 + 16 = raiz96 = 4raiz6

Passo 5

A área do paralelogramo formado pelos vetores PQ e PR é igual à magnitude do produto vetorial, que acabamos de calcular como 4raiz6 . Mas, como queremos a área do triângulo, que é metade da área do paralelogramo, fazemos:
Área do triângulo = 12 times 4raiz6 = 2raiz6 Áâ

Resposta

A área do triângulo determinado pelos pontos P , Q e R é 2raiz6 unidades de área.

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