Encontre o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores e nos seguintes casos: e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria vetorial! A questão pede para encontrar o volume de um paralelepípedo determinado por três vetores: , e . Para isso, a gente vai usar conceitos de produtos vetoriais e produtos escalares. Basicamente, vamos calcular o produto misto desses vetores, que nos dá o volume do paralelepípedo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores, digamos e , resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado por e . A fórmula para o produto vetorial é:
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial v times w usando os vetores dados:
v = 2i + j - k w = i - 2j + k
Aplicando a fórmula do determinante:
v times w = i & j & k 2 & 1 & -1 1 & -2 & 1
Calculando cada componente:
Componente i:
(1)(1) - (-1)(-2) = 1 - 2 = -1
Componente j:
-(2)(1) - (-1)(1) = -2 + 1 = -1
Componente k:
(2)(-2) - (1)(1) = -4 - 1 = -5
Então,
v times w = -i - j -5k
Passo 4
Agora que temos o produto vetorial, vamos calcular o produto escalar com o terceiro vetor u para encontrar o volume. O produto escalar entre dois vetores a e b é dado por:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Nosso terceiro vetor é:
u = i + 3j + 2k
Passo 5
Fazendo o produto escalar entre u e v times w:
u cdot (v times w) = (1)(-1) + (3)(-1) + (2)(-5) = -1 -3 -10 = -14
Passo 6
O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse produto escalar. Então: