Encontre o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u, v e w nos seguintes casos:
u=i+3 j+2 k, v=2 i+j-k e w=i-2 j+k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria vetorial! A questão pede para encontrar o volume de um paralelepípedo determinado por três vetores: u, v e w. Para isso, a gente vai usar conceitos de produtos vetoriais e produtos escalares. Basicamente, vamos calcular o produto misto desses vetores, que nos dá o volume do paralelepípedo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores, digamos v e w, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado por v e w. A fórmula para o produto vetorial é:
v times w = i & j & k vx & vy & vz wx & wy & wz

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial v times w usando os vetores dados:
v = 2i + j - k w = i - 2j + k
Aplicando a fórmula do determinante:
v times w = i & j & k 2 & 1 & -1 1 & -2 & 1
Calculando cada componente:
  • Componente i:
(1)(1) - (-1)(-2) = 1 - 2 = -1
  • Componente j:
-(2)(1) - (-1)(1) = -2 + 1 = -1
  • Componente k:
(2)(-2) - (1)(1) = -4 - 1 = -5
Então,
v times w = -i - j -5k

Passo 4

Agora que temos o produto vetorial, vamos calcular o produto escalar com o terceiro vetor u para encontrar o volume. O produto escalar entre dois vetores a e b é dado por:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Nosso terceiro vetor é:
u = i + 3j + 2k

Passo 5

Fazendo o produto escalar entre u e v times w:
u cdot (v times w) = (1)(-1) + (3)(-1) + (2)(-5) = -1 -3 -10 = -14

Passo 6

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse produto escalar. Então:
Volume = |u cdot (v times w)| = |-14| = 14

Resposta

O volume do paralelepípedo é 14 unidades cúbicas.

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