Considere a cicloide de parametrização r(theta)=(a(theta-sin theta), a(1-cos theta)).
(b) Seja r(s)=(x(s), y(s)) a reparametrização pelo comprimento de arco da cicloide partindo de theta0=0. Encontre y(s).

Passo 1

O enunciado nos dá a cicloide parametrizada por
vec r(theta)=l(a(theta-sintheta),,a(1-costheta)r)
e pede a reparametrização pelo comprimento de arco s a partir de theta0=0.
O conteúdo necessário é o cálculo de comprimento de arco de curvas planas, a inversão da relação s(theta) e a substituição em y=a(1-costheta).

Passo 2

Primeiro calculamos a velocidade e o comprimento de arco.
Derivando,
vec r'(theta)=l(a(1-costheta),,asinthetar)
O módulo é
|vec r'(theta)|=araiz(1-costheta)^2+sin^2theta =araiz2-2costheta =2asin!l(tfractheta2r)
Logo o arco de 0 a theta é
s(theta)=integral0^theta2asin!l(tfracphi2r),dphi =4al(1-cos!tfractheta2r)

Passo 3

Invertendo a relação s=4al(1-cos(theta/2)r), temos
cos!l(tfractheta2r)=1- s4a,
portanto
theta(s)=2arccos!l(1- s4ar)

Passo 4

Agora usamos y(s)=al(1-costheta(s)r) e a identidade costheta=2cos^2(tfractheta2)-1. Assim
y(s) =al[1-l(2cos^2(tfractheta2)-1r)r] =2asin^2!l(tfractheta2r)
Como sin^2(tfractheta2)=1-cos^2(tfractheta2)=1-l(1-tfrac s4ar)^2, segue
y(s) =2al( s2a-s^216a^2r) =s-s^28a

Resposta

y(s)=s-s^28a

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