Verificar se são coplanares os vetores: u=(l,-1,2), v=(2,2,1) e w=(-2,0,-4).

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente quer saber aqui é se os vetores u = (1, -1, 2), v = (2, 2, 1) e w = (-2, 0, -4) são coplanares. Isso está ligado ao conteúdo de vetores no espaço tridimensional e pra resolver isso, a gente vai precisar usar o produto misto, também conhecido como produto escalar-triplo.

Passo 2

Primeiro, o que significa vetores serem coplanares? Basicamente, três vetores são coplanares se eles “cabem” no mesmo plano. Imagina três flechas no espaço: se você conseguir colocar todas elas em um mesmo plano sem precisar curvar ou mover pra específico, elas são coplanares. Na matemática, isso é verificado usando o produto misto.

Passo 3

O produto misto, ou produto escalar-triplo, é uma forma de multiplicar três vetores e que, se o resultado for zero, indica que os vetores são coplanares. A fórmula é:
u cdot (v times w) = 0
Aqui, v times w é o produto vetorial de v e w, e u cdot é o produto escalar do resultado com u.

Passo 4

Vamos calcular primeiro o produto vetorial v times w. Usando a matriz determinante para encontrar isso:
v times w = i & j & k 2 & 2 & 1 -2 & 0 & -4
Calculando:
i(2 cdot (-4) - 1 cdot 0) - j(2 cdot (-4) - 1 cdot (-2)) + k(2 cdot 0 - 2 cdot (-2))
= i(-8) - j(-8 + 2) + k(0 + 4)
= -8i + 6j + 4k
= (-8, 6, 4)

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar de u com o resultado do produto vetorial:
u cdot (v times w) = (1, -1, 2) cdot (-8, 6, 4)
= 1 cdot (-8) + (-1) cdot 6 + 2 cdot 4
= -8 - 6 + 8
= -6

Resposta

Como o produto misto deu -6 neq 0, os vetores u, v e w não são coplanares.

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