Determine a natureza das seguintes séries:
sumn=2^infty (-5)^n+1(ln n)^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar a natureza da série
sumn=2^infty (-5)^n+1(ln n)^n
O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas e, em especial, o teste da raiz (ou teste de Cauchy) para decidir se há convergência absoluta.

Passo 2

Para aplicar o teste da raiz, consideramos o termo geral
an = (-5)^n+1(ln n)^n
e estudamos
L ;=;limntoinftyraiz[n]lvert anrvert ;=; limntoinftyraiz[n]5^n+1(ln n)^n

Passo 3

Vamos reescrever a raiz n-ésima:
raiz[n]5^n+1(ln n)^n = raiz[n]5^n+1raiz[n](ln n)^n = 5^1 + tfrac1nln n ;longrightarrow; 5ln n quando ntoinfty
Como ln ntoinfty, temos
L ;=; limntoinfty5ln n ;=; 0

Passo 4

O teste da raiz diz que se L<1, a série converge absolutamente. Aqui L=0<1, logo
sumn=2^infty (-5)^n+1(ln n)^n
é absolutamente convergente, e portanto converge.

Resposta

A série converge absolutamente.

Exercícios relacionados