Considere o campo de vetores X(x, y, z)=(L, M, N)=(x^2 y, y^2 z,-z^2 x). Calcule o rotacional de rot(X)=(A, B, C) e a integral
integralgamma rot(X) cdot d p=integralgamma A d x+B d y+C d z, d p=(d x, d y, d z)
Obs. rot(X)=(Ny-Mz, Lz-Nx, Mx-Ly).
A curva gamma, positivamente orientada,'é a interseção do plano x+y+z=a com a esfera x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial X(x,y,z)=(L,M,N)=l(x^2y,;y^2z,;-z^2xr) e em seguida avaliar a integral de linha integralgammarot(X)cdot dp, onde gamma é a curva de interseção da esfera x^2+y^2+z^2=1 com o plano x+y+z=a. O conteúdo principal envolve rotacional de campos e uso do Teorema de Stokes para transformar a integral de linha em integral de superfície.

Passo 2

Para achar o rotacional usamos a fórmula rot(X)=(Ny-Mz,;Lz-Nx,;Mx-Ly). Calculando derivadas parciais: Ny=0, Mz=y^2, Lz=0, Nx=-z^2, Mx=0, Ly=x^2. Assim obtemos rot(X)=(-y^2,;z^2,;-x^2)

Passo 3

Em vez de parametrizar a curva, aplicamos o Teorema de Stokes:
integralgammarot(X)cdot dp=integral duplaSrotl(rot(X)r)cdot n,dS,

Passo 4

Calculamos rot(rot(X)) para F=rot(X)=(-y^2,,z^2,,-x^2). Usando rot(F)=(Ry-Qz,;Pz-Rx,;Qx-Py) onde P=-y^2,;Q=z^2,;R=-x^2, obtemos rot(rot(X))=(-2z,;2x,;2y)

Passo 5

A superfície S é o disco x+y+z=a dentro da esfera. Um vetor normal unitário ao plano é n=tfrac1raiz3(1,1,1), de modo que
rot(rot(X))cdot n=1raiz3l(-2z+2x+2yr)=2(x+y-z)raiz3

Passo 6

O disco S tem centro no pé da perpendicular do ponto (0,0,0) ao plano, ou seja C=(a/3,a/3,a/3), e raio R=raiz1-tfraca^23. A área é pi R^2=pi(1-tfraca^23). Como x+y-z é linear, sua média no disco vale a/3. Logo
integral duplaS(x+y-z),dS=a3;pil(1-a^23r)

Passo 7

Juntando tudo:
integralgammarot(X)cdot dp=2raiz3;a3;pil(1-a^23r)=2pi a,(3-a^2)9raiz3

Resposta

integralgammarot(X)cdot dp=2pi a,(3-a^2)9raiz3

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