Considere o campo de vetores
. Calcule o rotacional de
e a integral
Obs.
.
A curva
, positivamente orientada,'é a interseção do plano
com a esfera
.
A curva
Passo 1
O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial
e em seguida avaliar a integral de linha
, onde
é a curva de interseção da esfera
com o plano
. O conteúdo principal envolve rotacional de campos e uso do Teorema de Stokes para transformar a integral de linha em integral de superfície.
Passo 2
Para achar o rotacional usamos a fórmula
. Calculando derivadas parciais:
,
,
,
,
,
. Assim obtemos
Passo 3
Em vez de parametrizar a curva, aplicamos o Teorema de Stokes:
Passo 4
Calculamos
para
. Usando
onde
, obtemos
Passo 5
A superfície
é o disco
dentro da esfera. Um vetor normal unitário ao plano é
, de modo que
Passo 6
O disco
tem centro no pé da perpendicular do ponto
ao plano, ou seja
, e raio
. A área é
. Como
é linear, sua média no disco vale
. Logo
Passo 7
Juntando tudo: