Questão 3: Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
f(x, y)=cccx^2 y^32 x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 1 & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
Queremos achar o maior conjunto em que e cálculo de limites.

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), então o denominador 2x^2+y^2 é estritamente positivo. Logo, f(x,y) é quociente de dois polinômios com denominador não nulo, portanto é contínua em todo ponto de R^2setminus(0,0).

Passo 3

Falta avaliar a continuidade em (0,0). Para isso, calculamos
lim(x,y)to(0,0)x^2y^32x^2+y^2
Usamos coordenadas polares ,x=rcostheta,;y=rsintheta. Então
x^2y^3=r^5cos^2theta,sin^3theta, 2x^2+y^2=r^2l(2cos^2theta+sin^2thetar),
e assim
f(r,theta)=r^5cos^2theta,sin^3thetar^2(2cos^2theta+sin^2theta) =r^3;cos^2theta,sin^3theta2cos^2theta+sin^2theta
Como l|cos^2theta,sin^3theta/(2cos^2theta+sin^2theta)r|<=1, segue
l|f(r,theta)r|<= r^3;xrightarrow[rto0]0
Portanto
lim(x,y)to(0,0)x^2y^32x^2+y^2=0

Passo 4

Como f(0,0)=1neq 0, a função não é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em
R^2setminus(0,0)

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