Considere o campo de vetores em R^2 dado por F(x, y)=(3 x^2+2 x y, x^2), a curva ^C1 dada pelo segmento de reta partindo do ponto A=(-1,1) até B=(1,1) e a curva C2 dada pelo arco da parábola y=x^2 ligando A até B;
Qual o valor da integral:
ointC1 cup C2^- F d r

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores em R^2
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r) = l(3x^2 + 2xy,;x^2r)
e pede a integral de linha ao longo do caminho fechado formado por C1 (reta de A=(-1,1) a B=(1,1)) e por C2^- (arco da parábola y=x^2 de B a A). O conteúdo principal aqui é reconhecer que, se F for campo conservativo, a integral numa curva fechada será zero. Para isso vamos verificar a condição de conservatividade.

Passo 2

Verificamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial xl(x^2r) = 2x, partial Ppartial y = partialpartial yl(3x^2 + 2xyr) = 2x
Como
partial Qpartial x = partial Ppartial y,
o rotacional de F é zero e o domínio do campo (todo R^2) é simplesmente conexo. Logo, F é conservativo: existe potencial f tal que nabla f = F.

Passo 3

Num campo conservativo a integral de linha entre dois pontos independe do caminho. Assim, para um laço fechado,
ointC1cup C2^- Fcdot d r = 0

Resposta

0

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