Considere o campo de vetores em
dado por
, a curva
dada pelo segmento de reta partindo do ponto
até
e a curva
dada pelo arco da parábola
ligando
até
;
Qual o valor da integral:
Qual o valor da integral:
Passo 1
O enunciado dá o campo de vetores em
e pede a integral de linha ao longo do caminho fechado formado por
(reta de
a
) e por
(arco da parábola
de
a
). O conteúdo principal aqui é reconhecer que, se
for campo conservativo, a integral numa curva fechada será zero. Para isso vamos verificar a condição de conservatividade.
Passo 2
Verificamos as derivadas parciais:
Como
o rotacional de
é zero e o domínio do campo (todo
) é simplesmente conexo. Logo,
é conservativo: existe potencial
tal que
.
Passo 3
Num campo conservativo a integral de linha entre dois pontos independe do caminho. Assim, para um laço fechado,