Use o método da decomposição em frações parciais para resolver as integrais definidas abaixo.
integral x^2-x-4(x^2+4)(2 x-1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2-x-4(x^2+4)(2x-1) ,dx
usando o método de decomposição em frações parciais. Vamos aplicar a técnica de escrever o integrando como soma de termos simples cujo antiderivado seja conhecido.

Passo 2

Proponho a decomposição
x^2-x-4(x^2+4)(2x-1) =Ax+Bx^2+4+C2x-1
Para encontrar A,B,C, multiplicamos ambos os lados por (x^2+4)(2x-1) e igualamos polinômios:
x^2-x-4=(Ax+B)(2x-1)+C(x^2+4)

Passo 3

Expandindo o lado direito:
(Ax+B)(2x-1)=2A x^2+(2B-A)x -B,
então
(Ax+B)(2x-1)+C(x^2+4) =(2A+C)x^2+(2B-A)x+(-B+4C)
Comparando com x^2 - x -4, obtemos o sistema
2A + C = 1, 2B - A = -1, -,B + 4C = -4

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. De 2A + C = 1 vem C = 1-2A.
  2. De 2B - A = -1 vem B = tfracA-12.
  3. Substituindo em -B +4C = -4:
-A-12 +4(1-2A)=-4 ;Longrightarrow; -,A+1+8-16A=-8 ;Longrightarrow; -17A=-17 ;Longrightarrow; A=1
Então B=(1-1)/2=0 e C=1-2cdot1=-1.

Passo 5

Fica
x^2-x-4(x^2+4)(2x-1) =1cdot x+0x^2+4+-12x-1 =xx^2+4-12x-1
Logo
integral x^2-x-4(x^2+4)(2x-1),dx =integral xx^2+4,dx -integral 12x-1,dx

Passo 6

Calculemos cada parte:
  1. integral xx^2+4,dx. Pondo u=x^2+4, du=2x,dx, obtemos
integral xx^2+4,dx =12integral duu =12lnl(x^2+4r)
  1. integral 12x-1,dx. Seja v=2x-1, dv=2,dx, então
integral 12x-1,dx =12integral dvv =12lnlvert 2x-1rvert

Resposta

integral x^2-x-4(x^2+4)(2x-1),dx =12lnl(x^2+4r) -12lnlvert 2x-1rvert +C

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