Use o método da decomposição em frações parciais para resolver as integrais definidas abaixo.
integral x^2x^2+x-6 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2x^2+x-6,dx
usando decomposição em frações parciais. Aqui o conteúdo é integração de função racional. Como o grau do numerador ( deg(x^2)=2) é igual ao grau do denominador ( deg(x^2+x-6)=2), primeiro faremos divisão polinomial para escrever a integral como soma de um polinômio com uma fração própria.

Passo 2

Fazendo a divisão de x^2 por x^2 + x - 6:
o quociente é 1 e o resto é
x^2 -l(x^2 + x -6r) = -,x +6
Logo
x^2x^2 + x -6 = 1 + -x +6x^2 + x -6 = 1 + -x+6(x+3)(x-2)

Passo 3

Agora decomponha a fração própria:
-x+6(x+3)(x-2) = Ax+3 + Bx-2
Multiplicando ambos os lados por (x+3)(x-2), obtemos a identidade
-,x +6 = A(x-2) + B(x+3)

Passo 4

Expandindo e igualando coeficientes em x:
A(x-2)+B(x+3) = (A+B),x + (-2A+3B) equiv -,x +6
Portanto
A + B = -1, -2A + 3B = 6
Resolvendo esse sistema:
A = -1 - B, -2(-1 - B) + 3B = 6 ;Longrightarrow; 2 +2B+3B = 6 ;Longrightarrow; 5B = 4 ;Longrightarrow; B = 45,
A = -1 - 45 = -95

Passo 5

Substituindo na integral original:
integral x^2x^2+x-6,dx = integral l[1 + Ax+3 + Bx-2r],dx = integral 1,dx + Aintegral dxx+3 + Bintegral dxx-2
Integrando termo a termo:
integral 1,dx = x, integral dxx+3 = lnlvert x+3rvert, integral dxx-2 = lnlvert x-2rvert
Logo
integral x^2x^2+x-6,dx = x + A,lnlvert x+3rvert + B,lnlvert x-2rvert + C

Resposta

x ;-;95,lnllvert x+3rrvert ;+;45,lnllvert x-2rrvert ;+;C

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