Use o método da decomposição em frações parciais para resolver as integrais definidas abaixo.
integral d xx^3+3 x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
integral dxx^3 + 3x^2
usando decomposição em frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e escrever a fração como soma de partes mais simples.

Passo 2

Observe que
x^3 + 3x^2 = x^2(x+3)
Logo, propomos
1x^2(x+3) = Ax + Bx^2 + Cx+3

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x^2(x+3), obtemos
1 = A,x(x+3) + B(x+3) + C,x^2
Expandindo e agrupando termos, fica
1 = (A+C)x^2 + (3A+B)x + 3B
Comparando coeficientes de igual potência de x:
A + C = 0, 3A + B = 0, 3B = 1

Passo 4

Da última equação segue B = tfrac13. Substituindo em 3A+B=0
3A + 13 = 0 Longrightarrow A = -19,
e então C = -A = 19.

Passo 5

Reescrevendo a integral com esses valores:
integraldxx^2(x+3) = integrall(-tfrac19,1x + tfrac13,1x^2 + tfrac19,1x+3r)dx
Integrando termo a termo:
-19ln|x| + 13l(-1xr) + 19ln|x+3| + C = -13x + 19ln|x+3| - 19ln|x| + C

Resposta

integral dxx^3 + 3x^2 = -13x + 19ln!gl|x+3xgr| + C

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