Considere o campo de vetores
F(x, y)=[y cos (x y)+2 x y1+x^2] i+[x cos (x y)+ln (1+x^2)+2] j
Sem exibir um potencial, justifique por que F é um campo conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um campo de vetores F(x, y) e pede para justificarmos que ele é conservativo, sem mostrar um potencial. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar verificar se certas condições são atendidas que caracterizam um campo conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial F. Temos:
F(x, y) = [ y cos(x y) + 2 x y1 + x^2 ] i + [ x cos(x y) + ln(1 + x^2) + 2 ] j
Aqui, podemos ver que:
P(x, y) = y cos(x y) + 2 x y1 + x^2
Q(x, y) = x cos(x y) + ln(1 + x^2) + 2

Passo 3

Agora, para verificar se o campo é conservativo, vamos calcular as derivadas parciais cruzadas. A primeira é a derivada parcial de Q em relação a x:
partial Qpartial x = partialpartial x [ x cos(x y) + ln(1 + x^2) + 2 ]
Calculando termo a termo:
  1. partialpartial x [x cos(x y)] = cos(x y) + x cdot (-y sin(x y)) = cos(x y) - x y sin(x y)
  2. partialpartial x [ln(1 + x^2)] = 2x1 + x^2
  3. partialpartial x [2] = 0
Então,
partial Qpartial x = cos(x y) - x y sin(x y) + 2x1 + x^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de P em relação a y:
partial Ppartial y = partialpartial y [ y cos(x y) + 2 x y1 + x^2 ]
Novamente, calculando termo a termo:
  1. partialpartial y [y cos(x y)] = cos(x y) + y cdot (-x sin(x y)) = cos(x y) - x y sin(x y)
  2. partialpartial y [ 2 x y1 + x^2 ] = 2x1 + x^2
Então,
partial Ppartial y = cos(x y) - x y sin(x y) + 2x1 + x^2

Passo 5

Agora, vamos comparar as duas derivadas parciais que calculamos:
partial Qpartial x = cos(x y) - x y sin(x y) + 2x1 + x^2
partial Ppartial y = cos(x y) - x y sin(x y) + 2x1 + x^2
Vemos que:
partial Qpartial x = partial Ppartial y

Resposta

Como partial Qpartial x é igual a partial Ppartial y, concluímos que o campo F é conservativo.

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