Considere o campo de vetores
F(x, y)=[y cos (x y)+2 x y1+x^2] i+[x cos (x y)+ln (1+x^2)+2] j
Obtenha um potencial para F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de vetores F(x, y) e o objetivo é encontrar uma função potencial phi(x, y) tal que o gradiente dela, nabla phi, seja igual a F. Isso está dentro do tema de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos precisar usar integração e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o campo de vetores F de forma mais clara:
F(x, y) = [ y cos(x y) + 2 x y1 + x^2 ] i + [ x cos(x y) + ln(1 + x^2) + 2 ] j
A gente quer encontrar uma função phi(x, y) tal que:
partial phipartial x = y cos(x y) + 2 x y1 + x^2
partial phipartial y = x cos(x y) + ln(1 + x^2) + 2

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira equação em relação a x para encontrar phi(x, y):
phi(x, y) = integral ( y cos(x y) + 2 x y1 + x^2 ) dx + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y e aparece como constante de integração.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de y cos(x y) em relação a x:
Usando a substituição u = x y, temos du = y dx. Então:
integral y cos(x y) dx = integral cos(u) du = sin(u) + C = sin(x y) + C
  1. Integral de 2 x y1 + x^2 em relação a x:
Aqui, podemos fatorar 2 y fora da integral:
2 y integral x1 + x^2 dx
Aí, usando substituição v = 1 + x^2, dv = 2x dx, então:
2 y cdot 12 ln(1 + x^2) = y ln(1 + x^2)

Passo 5

Juntando as integrais, temos:
phi(x, y) = sin(x y) + y ln(1 + x^2) + g(y)

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de phi(x, y) em relação a y e igualar à segunda componente de F:
partial phipartial y = x cos(x y) + ln(1 + x^2) + g'(y)
De acordo com a segunda componente de F:
x cos(x y) + ln(1 + x^2) + 2 = x cos(x y) + ln(1 + x^2) + g'(y)

Passo 7

Comparando os termos, vemos que:
g'(y) = 2
Integrando em relação a y:
g(y) = 2 y + C
Onde C é a constante de integração, que podemos ignorar no potencial.

Passo 8

Substituindo g(y) na expressão de phi(x, y), temos:
phi(x, y) = sin(x y) + y ln(1 + x^2) + 2 y

Resposta

O potencial para F é:
phi(x, y) = sin(x y) + y ln(1 + x^2) + 2 y

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