Considere o campo de vetores
Obtenha um potencial para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de vetores
e o objetivo é encontrar uma função potencial
tal que o gradiente dela,
, seja igual a
. Isso está dentro do tema de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos precisar usar integração e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o campo de vetores
de forma mais clara:
A gente quer encontrar uma função
tal que:
Passo 3
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e aparece como constante de integração.
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente:
- Integral de
em relação a :
Usando a substituição
, temos
. Então:
- Integral de
em relação a :
Aqui, podemos fatorar
fora da integral:
Aí, usando substituição
,
, então:
Passo 5
Juntando as integrais, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
e igualar à segunda componente de
:
De acordo com a segunda componente de
:
Passo 7
Comparando os termos, vemos que:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar no potencial.
Passo 8
Substituindo
na expressão de
, temos:
Resposta
O potencial para
é: