Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a natureza da série infinita:
Isso faz parte do conteúdo de Séries Numéricas, mais especificamente sobre Séries Geométricas. Para resolver, vamos precisar identificar se a série é geométrica e, se for, calcular sua razão para verificar se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para ver se conseguimos identificar uma forma geométrica. Observa que temos:
Podemos reescrever isso separando as potências:
Passo 3
Agora, podemos separar o termo que depende de dos termos constantes:
Então, a série original fica:
Passo 4
Percebemos que essa é uma Série Geométrica, que tem a forma:
onde é o primeiro termo e é a razão da série. No nosso caso, reescrevemos a série começando de , mas podemos ajustar isso:
Aqui, e .
Passo 5
Para uma série geométrica convergir, a razão deve satisfazer . Vamos verificar:
Como a condição |r| < 1 é verdadeira, a série converge.
Passo 6
Além disso, podemos calcular a soma da série usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
No nosso caso, temos que ajustar o primeiro termo. A série começa em n=1, então: