Determine a natureza das seguintes séries:
sumn=1^infty 5^n-13^2 n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a natureza da série infinita:
sumn=1^infty 5^n-13^2 n
Isso faz parte do conteúdo de Séries Numéricas, mais especificamente sobre Séries Geométricas. Para resolver, vamos precisar identificar se a série é geométrica e, se for, calcular sua razão para verificar se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para ver se conseguimos identificar uma forma geométrica. Observa que temos:
5^n-13^2 n
Podemos reescrever isso separando as potências:
5^n-1(3^2)^n = 5^n-19^n

Passo 3

Agora, podemos separar o termo que depende de n dos termos constantes:
5^n-19^n = 5^n5 cdot 9^n = 15 ( 59 )^n
Então, a série original fica:
sumn=1^infty 15 ( 59 )^n

Passo 4

Percebemos que essa é uma Série Geométrica, que tem a forma:
sumn=0^infty ar^n
onde a é o primeiro termo e r é a razão da série. No nosso caso, reescrevemos a série começando de n=1, mas podemos ajustar isso:
sumn=1^infty 15 ( 59 )^n = 15 sumn=1^infty ( 59 )^n
Aqui, a = 59 e r = 59.

Passo 5

Para uma série geométrica convergir, a razão r deve satisfazer |r| < 1. Vamos verificar:
| 59 | = 59 approx 0,555 < 1
Como a condição |r| < 1 é verdadeira, a série converge.

Passo 6

Além disso, podemos calcular a soma da série usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
No nosso caso, temos que ajustar o primeiro termo. A série começa em n=1, então:
S = 15 cdot 591 - 59 = 15 cdot 5949 = 15 cdot 54 = 14

Resposta

A série sumn=1^infty 5^n-13^2 n é convergente e sua soma é 14.

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