Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.
F(x, y, z)=(ln x+sec ^2(x+y)) i+(sec ^2(x+y)+yy^2+z^2) j+zy^2+z^2 k

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vec F(x,y,z)=(ln x+sec^2(x+y)),vec i+(sec^2(x+y)+tfracyy^2+z^2),vec j+tfraczy^2+z^2,vec k é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi(x,y,z) tal que nablaphi=vec F. O tema é cálculo vetorial, usando o teste nablatimesvec F=vec0 e integração para achar o potencial.

Passo 2

Para decidir se vec F é conservativo, calculamos o rotacional nablatimesvec F. As componentes são:
(nablatimesvec F)x=partialpartial yl(zy^2+z^2r)-partialpartial zl(sec^2(x+y)+yy^2+z^2r)= -2yz(y^2+z^2)^2+2yz(y^2+z^2)^2=0,
(nablatimesvec F)y=partialpartial z(ln x+sec^2(x+y)) -partialpartial xl(zy^2+z^2r)=0-0=0,
(nablatimesvec F)z=partialpartial xl(sec^2(x+y)+yy^2+z^2r)-partialpartial y(ln x+sec^2(x+y))=0-0=0

Passo 3

Como nablatimesvec F=vec0 na região onde x>0 e (y,z)neq(0,0), o campo é localmente conservativo e admite função potencial nessa região.

Passo 4

Para achar phi, integramos a componente P=ln x+sec^2(x+y) em relação a x:
phi(x,y,z)=integral(ln x+sec^2(x+y)),dx=xln x-x+tan(x+y)+g(y,z)

Passo 5

Em seguida igualamos partialphi/partial y a Q=sec^2(x+y)+tfracyy^2+z^2:
partialphipartial y=sec^2(x+y)+gy(y,z)=sec^2(x+y)+yy^2+z^2 \
implies gy(y,z)=yy^2+z^2implies g(y,z)=12ln(y^2+z^2)+h(z)

Passo 6

Finalmente igualamos partialphi/partial z a R=tfraczy^2+z^2:
partialphipartial z=h'(z)+zy^2+z^2=zy^2+z^2implies h'(z)=0implies h(z)=constante

Resposta

Uma função potencial é
phi(x,y,z)=xln x-x+tan(x+y)+tfrac12ln(y^2+z^2)+C,
com C constante arbitrária.

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