ou seja, a integral de linha de \vec{F} ao longo da curva fechada C.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática, como na prova): uma maneira simples e rápida para integrais de linha em curvas fechadas é verificar se o campo é conservativo (ou seja, se existe uma função potencial). Se o campo for conservativo e definido numa região simplesmente conexa que contém C, então a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada é zero (teorema fundamental para campos gradiente). Vou verificar isso calculando as derivadas parciais relevantes.
Para um campo planar \vec{F}=(P,Q), a condição de ser conservativo (em uma região simples e com derivadas contínuas) é
As derivadas parciais aparecem como funções polinomiais (e a parte com \ln(x^{6}+1) é suave em todo \mathbb{R}^{2}), logo as derivadas parciais são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}.
A região inteira \mathbb{R}^{2} é simplesmente conexa (não possui “buracos”) e o campo \vec{F} está bem definido em todo \mathbb{R}^{2}, porque x^{6}+1>0 para todo x (logo o logaritmo não causa singularidade).
Portanto, pelas condições clássicas, \vec{F} é um campo conservativo: existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}.
Teorema usado (explicado de forma simples): se \vec{F} é gradiente de alguma \varphi, então para qualquer curva fechada C temos
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0,
pois a integral de linha entre dois pontos depende só dos valores de \varphi nesses pontos; numa volta fechada começo e termino no mesmo ponto, então a diferença é zero.
Passo 6
(Ilustração prática — como encontrar a potencial rapidamente, método que pode aparecer na prova.)
Se quisermos achar explicitamente uma potencial \varphi, podemos integrar Q em relação a y (às vezes é mais simples) e ajustar com uma função de x. Fazendo isso:
Integrando Q em relação a y:
\int Q(x,y)\,dy=\int\bigl(2xy+x^{2}+x+y+2\bigr)\,dy = x y^{2}+x^{2}y+xy+\frac{y^{2}}{2}+2y+h(x),
onde h(x) é uma função arbitrária de x (constante de integração em relação a y). Diferenciando essa expressão em x e igualando a P(x,y) determina h'(x)=x+x\ln(x^{6}+1), o que confirma que existe tal h (e, portanto, \varphi existe). Não é preciso computar h explicitamente para concluir que \vec{F} é gradiente.
Passo 7
Conclusão final e aplicação ao problema.
Como \vec{F} é conservativo em toda a região que contém a elipse C, a integral de linha sobre a curva fechada C vale: