Considere o campo de vetores
F(x, y)=\left[y^{2}+2 x y+y+x \ln \left(x^{6}+1\right)\right] \vec{i}+\left(2 x y+x^{2}+x+y+2\right) \vec{j} .
Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r}, onde
C é a elipse \frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{9}=1;

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores e pede a integral de linha ao longo da elipse fechada C. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
  • Campo de vetores:
\vec{F}(x,y)=\bigl[P(x,y)\bigr]\vec{i}+\bigl[Q(x,y)\bigr]\vec{j},
onde
P(x,y)=y^{2}+2xy+y+x\ln\!\bigl(x^{6}+1\bigr),
Q(x,y)=2xy+x^{2}+x+y+2.
  • Curva C: a elipse fechada
\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{9}=1.
  • O que se pede: calcular
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r},
ou seja, a integral de linha de \vec{F} ao longo da curva fechada C.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática, como na prova): uma maneira simples e rápida para integrais de linha em curvas fechadas é verificar se o campo é conservativo (ou seja, se existe uma função potencial). Se o campo for conservativo e definido numa região simplesmente conexa que contém C, então a integral de linha ao longo de qualquer curva fechada é zero (teorema fundamental para campos gradiente). Vou verificar isso calculando as derivadas parciais relevantes.
Para um campo planar \vec{F}=(P,Q), a condição de ser conservativo (em uma região simples e com derivadas contínuas) é
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Vou calcular \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x passo a passo.

Passo 3

Cálculo de \partial P/\partial y.
Começando de
P(x,y)=y^{2}+2xy+y+x\ln\!\bigl(x^{6}+1\bigr).
Derivando termo a termo em relação a y (tratando x como constante):
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x (pois 2x é constante multiplicando y).
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(y)=1.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x)=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x\ln(x^{6}+1)\bigr)=0 (não depende de y).
Somando,
\frac{\partial P}{\partial y}=2y+2x+1.

Passo 4

Cálculo de \partial Q/\partial x.
Começando de
Q(x,y)=2xy+x^{2}+x+y+2.
Derivando termo a termo em relação a x (tratando y como constante):
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x)=1.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(y)=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(2)=0.
Somando,
\frac{\partial Q}{\partial x}=2y+2x+1.

Passo 5

Conclusão sobre ser conservativo e validade do resultado.
  • Observamos que
\frac{\partial P}{\partial y}=\;2y+2x+1\;=\frac{\partial Q}{\partial x}.
  • As derivadas parciais aparecem como funções polinomiais (e a parte com \ln(x^{6}+1) é suave em todo \mathbb{R}^{2}), logo as derivadas parciais são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}.
  • A região inteira \mathbb{R}^{2} é simplesmente conexa (não possui “buracos”) e o campo \vec{F} está bem definido em todo \mathbb{R}^{2}, porque x^{6}+1>0 para todo x (logo o logaritmo não causa singularidade).
  • Portanto, pelas condições clássicas, \vec{F} é um campo conservativo: existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}.
Teorema usado (explicado de forma simples): se \vec{F} é gradiente de alguma \varphi, então para qualquer curva fechada C temos
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0,
pois a integral de linha entre dois pontos depende só dos valores de \varphi nesses pontos; numa volta fechada começo e termino no mesmo ponto, então a diferença é zero.

Passo 6

(Ilustração prática — como encontrar a potencial rapidamente, método que pode aparecer na prova.)
Se quisermos achar explicitamente uma potencial \varphi, podemos integrar Q em relação a y (às vezes é mais simples) e ajustar com uma função de x. Fazendo isso:
Integrando Q em relação a y:
\int Q(x,y)\,dy=\int\bigl(2xy+x^{2}+x+y+2\bigr)\,dy = x y^{2}+x^{2}y+xy+\frac{y^{2}}{2}+2y+h(x),
onde h(x) é uma função arbitrária de x (constante de integração em relação a y). Diferenciando essa expressão em x e igualando a P(x,y) determina h'(x)=x+x\ln(x^{6}+1), o que confirma que existe tal h (e, portanto, \varphi existe). Não é preciso computar h explicitamente para concluir que \vec{F} é gradiente.

Passo 7

Conclusão final e aplicação ao problema.
Como \vec{F} é conservativo em toda a região que contém a elipse C, a integral de linha sobre a curva fechada C vale:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0.

Resposta

0

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