(2,0 pontos) Dado o campo vetorial conservativo \vec{F}(x, y, z)=\left(z^{2}, 2 y z, 2 x z+y^{2}\right),
(a) Obtenha um potencial para este campo.
(b) Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r} onde C é uma curva com ponto inicial ( 1,1,1 ) e ponto final (2,0,2).
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial conservativo \vec{F}(x,y,z)=\big(z^{2},\,2yz,\,2xz+y^{2}\big) e pede duas coisas:
(a) Obter um potencial para esse campo (ou seja, uma função \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\vec{F}).
(b) Calcular \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} onde C é uma curva qualquer com ponto inicial (1,1,1) e ponto final (2,0,2).
Informações relevantes fornecidas:
O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=\big(z^{2},\,2yz,\,2xz+y^{2}\big).
O ponto inicial do caminho C é (1,1,1) e o ponto final é (2,0,2).
O campo já é declarado conservativo (isso implica independência de caminho e existência local/global de um potencial).
Passo 2
O que significa encontrar um potencial?
Uma função \varphi(x,y,z) é potencial de \vec{F} quando suas derivadas parciais coincidem com as componentes de \vec{F}. Em símbolos:
O método padrão: integrar a primeira equação em x obtendo \varphi mais uma função arbitrária de y,z; depois usar a segunda e a terceira para determinar essa função arbitrária.
Passo 3
Começo integrando a primeira igualdade em relação a x:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=z^{2}\quad\Rightarrow\quad \varphi(x,y,z)=\int z^{2}\,dx = x z^{2} + g(y,z),
onde g(y,z) é uma função arbitrária que pode depender de y e z (porque ao derivar em x ela desaparece).
Passo 4
Agora uso a segunda igualdade para achar informações sobre g. Calculo \partial\varphi/\partial y a partir da expressão encontrada:
Concluo que um potencial (à diferença de uma constante) é
\varphi(x,y,z)=x z^{2} + y^{2}z + C.
Podemos escolher C=0 para simplificar. Assim, uma expressão conveniente para o potencial é
\varphi(x,y,z)=x z^{2} + y^{2}z.
Passo 7
Uma breve lição sobre por que isso resolve a parte (b): para um campo conservativo que possui potencial \varphi definido num domínio que contém o caminho C, o integral de linha é independente do caminho e vale simplesmente a diferença do potencial entre extremos: