(2,0 pontos) Dado o campo vetorial conservativo \vec{F}(x, y, z)=\left(z^{2}, 2 y z, 2 x z+y^{2}\right),
(a) Obtenha um potencial para este campo.
(b) Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r} onde C é uma curva com ponto inicial ( 1,1,1 ) e ponto final (2,0,2).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial conservativo \vec{F}(x,y,z)=\big(z^{2},\,2yz,\,2xz+y^{2}\big) e pede duas coisas:
  • (a) Obter um potencial para esse campo (ou seja, uma função \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\vec{F}).
  • (b) Calcular \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} onde C é uma curva qualquer com ponto inicial (1,1,1) e ponto final (2,0,2).
Informações relevantes fornecidas:
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=\big(z^{2},\,2yz,\,2xz+y^{2}\big).
  • O ponto inicial do caminho C é (1,1,1) e o ponto final é (2,0,2).
  • O campo já é declarado conservativo (isso implica independência de caminho e existência local/global de um potencial).

Passo 2

O que significa encontrar um potencial?
Uma função \varphi(x,y,z) é potencial de \vec{F} quando suas derivadas parciais coincidem com as componentes de \vec{F}. Em símbolos:
\nabla\varphi=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\;\frac{\partial\varphi}{\partial y},\;\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right)=\vec{F}=\big(z^{2},\,2yz,\,2xz+y^{2}\big).
Isso dá três equações escalares:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=z^{2},\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=2yz,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=2xz+y^{2}.
O método padrão: integrar a primeira equação em x obtendo \varphi mais uma função arbitrária de y,z; depois usar a segunda e a terceira para determinar essa função arbitrária.

Passo 3

Começo integrando a primeira igualdade em relação a x:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=z^{2}\quad\Rightarrow\quad \varphi(x,y,z)=\int z^{2}\,dx = x z^{2} + g(y,z),
onde g(y,z) é uma função arbitrária que pode depender de y e z (porque ao derivar em x ela desaparece).

Passo 4

Agora uso a segunda igualdade para achar informações sobre g. Calculo \partial\varphi/\partial y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x z^{2} + g(y,z)\big)=\frac{\partial g}{\partial y}.
Pelo requisito \partial\varphi/\partial y=2yz, segue
\frac{\partial g}{\partial y}=2yz.
Integro essa equação em y:
g(y,z)=\int 2yz\,dy = y^{2}z + h(z),
onde h(z) é agora uma função arbitrária só de z.

Passo 5

Substituo g(y,z) em \varphi. Obtive
\varphi(x,y,z)=x z^{2} + y^{2}z + h(z).
Agora uso a terceira igualdade \partial\varphi/\partial z = 2xz + y^{2} para determinar h(z). Calculo:
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(x z^{2} + y^{2}z + h(z)\big)=2xz + y^{2} + h'(z).
Comparando com a componente dada 2xz+y^{2}, deve valer
2xz + y^{2} + h'(z) = 2xz + y^{2}\quad\Rightarrow\quad h'(z)=0.
Logo h(z) é uma constante.

Passo 6

Concluo que um potencial (à diferença de uma constante) é
\varphi(x,y,z)=x z^{2} + y^{2}z + C.
Podemos escolher C=0 para simplificar. Assim, uma expressão conveniente para o potencial é
\varphi(x,y,z)=x z^{2} + y^{2}z.

Passo 7

Uma breve lição sobre por que isso resolve a parte (b): para um campo conservativo que possui potencial \varphi definido num domínio que contém o caminho C, o integral de linha é independente do caminho e vale simplesmente a diferença do potencial entre extremos:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(\text{ponto final})-\varphi(\text{ponto inicial}).
Portanto, para calcular o integral basta avaliar \varphi nos pontos finais e iniciais.

Passo 8

Avalio o potencial nos pontos dados (aqui usei os pontos fornecidos no enunciado):
\varphi(2,0,2)= (2)\cdot(2)^{2} + (0)^{2}\cdot 2 = 2\cdot 4 + 0 = 8,
\varphi(1,1,1)= (1)\cdot(1)^{2} + (1)^{2}\cdot 1 = 1 + 1 = 2.
Assim, a integral pedida será a diferença \varphi(2,0,2)-\varphi(1,1,1). (O valor numérico final aparece apenas na seção de resposta.)

Resposta

(a) \varphi(x,y,z)=x z^{2}+y^{2}z\n
(b) \displaystyle 6

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