F(x, y)=\left[y^{2}+2 x y+y+x \ln \left(x^{6}+1\right)\right] \vec{i}+\left(2 x y+x^{2}+x+y+2\right) \vec{j} .
Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r}, onde
C é o arco de circunferência x^{2}+y^{2}=4, x \geq 0, orientado do ponto (0,-2) para o ponto (0,2).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Primeiro passo técnico: verificar se \vec{F} é um campo conservativo (ou seja, procurar se existe uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}). Para isso calculo as derivadas parciais relevantes.
Escrevo P(x,y)=y^{2}+2xy+y+x\ln\bigl(x^{6}+1\bigr) e Q(x,y)=2xy+x^{2}+x+y+2.
Calculo \dfrac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial P}{\partial y}=2y+2x+1
(explicando: derivada de y^{2} é 2y; de 2xy é 2x; de y é 1; a parte x\ln(x^{6}+1) é vista como função de x apenas, portanto sua derivada em relação a y é 0.)
Calculo \dfrac{\partial Q}{\partial x}:
\frac{\partial Q}{\partial x}=2y+2x+1
(explicando: derivada de 2xy em relação a x é 2y; de x^{2} é 2x; de x é 1; as outras são constantes em x.)
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} para todos (x,y), a condição de igualdade das derivadas mistas é satisfeita.
Passo 3
Agora argumento sobre o domínio: a função \ln\bigl(x^{6}+1\bigr) está bem definida para todo x real porque x^{6}+1>0 sempre. Portanto P e Q são funções C^{1} em todo \mathbb{R}^{2}, que é simplesmente conexo. Nessas condições, a igualdade das derivadas mistas garante que \vec{F} é conservativo em todo \mathbb{R}^{2}.
Então vale o Teorema Fundamental da Cálculo para integrais de linha em campos conservativos: se \varphi é potencial de \vec{F}, então
Vou achar uma função potencial \varphi(x,y). Uma maneira prática é integrar Q em relação a y (porque Q é polinomial em y e a integral fica simples). Integro:
Como deve valer \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=P(x,y)=y^{2}+2xy+y+x\ln\bigl(x^{6}+1\bigr), obtemos
h'(x)=x\ln\bigl(x^{6}+1\bigr).
Portanto
h(x)=\int x\ln\bigl(x^{6}+1\bigr)\,dx + C,
mas não preciso calcular explicitamente essa integral para todo x, pois nos pontos que interessam x=0 e a constante C vai se cancelar ao subtrair valores de \varphi.
Passo 6
Para a integral queremos \varphi(0,2)-\varphi(0,-2). Substituo x=0 na expressão de \varphi(x,y):