Considere o campo de vetores
F(x, y)=\left[y^{2}+2 x y+y+x \ln \left(x^{6}+1\right)\right] \vec{i}+\left(2 x y+x^{2}+x+y+2\right) \vec{j} .
Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r}, onde
C é o arco de circunferência x^{2}+y^{2}=4, x \geq 0, orientado do ponto (0,-2) para o ponto (0,2).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Campo de vetores:
\vec{F}(x,y)=\bigl[y^{2}+2xy+y+x\ln\bigl(x^{6}+1\bigr)\bigr]\vec{i}+\bigl(2xy+x^{2}+x+y+2\bigr)\vec{j}.
  • Curva C: arco da circunferência \,x^{2}+y^{2}=4, com x\ge 0, orientado do ponto (0,-2) para o ponto (0,2). Ou seja, é o semicírculo direito subindo.
  • Pedido: calcular \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot\overrightarrow{d r}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: verificar se \vec{F} é um campo conservativo (ou seja, procurar se existe uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}). Para isso calculo as derivadas parciais relevantes.
Escrevo P(x,y)=y^{2}+2xy+y+x\ln\bigl(x^{6}+1\bigr) e Q(x,y)=2xy+x^{2}+x+y+2.
Calculo \dfrac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial P}{\partial y}=2y+2x+1
(explicando: derivada de y^{2} é 2y; de 2xy é 2x; de y é 1; a parte x\ln(x^{6}+1) é vista como função de x apenas, portanto sua derivada em relação a y é 0.)
Calculo \dfrac{\partial Q}{\partial x}:
\frac{\partial Q}{\partial x}=2y+2x+1
(explicando: derivada de 2xy em relação a x é 2y; de x^{2} é 2x; de x é 1; as outras são constantes em x.)
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} para todos (x,y), a condição de igualdade das derivadas mistas é satisfeita.

Passo 3

Agora argumento sobre o domínio: a função \ln\bigl(x^{6}+1\bigr) está bem definida para todo x real porque x^{6}+1>0 sempre. Portanto P e Q são funções C^{1} em todo \mathbb{R}^{2}, que é simplesmente conexo. Nessas condições, a igualdade das derivadas mistas garante que \vec{F} é conservativo em todo \mathbb{R}^{2}.
Então vale o Teorema Fundamental da Cálculo para integrais de linha em campos conservativos: se \varphi é potencial de \vec{F}, então
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi\bigl(\text{ponto final}\bigr)-\varphi\bigl(\text{ponto inicial}\bigr).
Aqui o ponto inicial é (0,-2) e o final é (0,2).

Passo 4

Vou achar uma função potencial \varphi(x,y). Uma maneira prática é integrar Q em relação a y (porque Q é polinomial em y e a integral fica simples). Integro:
\varphi(x,y)=\int Q(x,y)\,dy=\int\bigl(2xy+x^{2}+x+y+2\bigr)\,dy.
Integro termo a termo (lembrando que x é constante ao integrar em y):
\varphi(x,y)=x y^{2}+x^{2}y+x y+\frac{1}{2}y^{2}+2y+h(x),
onde h(x) é uma função arbitrária de x (constante de integração em relação a y).

Passo 5

Agora determino h(x) comparando \dfrac{\partial\varphi}{\partial x} com P(x,y). Calculo
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=y^{2}+2xy+y+h'(x).
Como deve valer \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=P(x,y)=y^{2}+2xy+y+x\ln\bigl(x^{6}+1\bigr), obtemos
h'(x)=x\ln\bigl(x^{6}+1\bigr).
Portanto
h(x)=\int x\ln\bigl(x^{6}+1\bigr)\,dx + C,
mas não preciso calcular explicitamente essa integral para todo x, pois nos pontos que interessam x=0 e a constante C vai se cancelar ao subtrair valores de \varphi.

Passo 6

Para a integral queremos \varphi(0,2)-\varphi(0,-2). Substituo x=0 na expressão de \varphi(x,y):
\varphi(0,y)=0\cdot y^{2}+0\cdot y+0\cdot y+\frac{1}{2}y^{2}+2y+h(0)=\frac{1}{2}y^{2}+2y+h(0).
Agora avalio nos pontos:
\varphi(0,2)=\frac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\cdot 2+h(0)=2+4+h(0)=6+h(0),
\varphi(0,-2)=\frac{1}{2}\cdot(-2)^{2}+2\cdot(-2)+h(0)=2-4+h(0)=-2+h(0).
Subtraindo (final menos inicial):
\varphi(0,2)-\varphi(0,-2)=(6+h(0))-(-2+h(0))=6-(-2)=8.

Resposta

8

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