(4 pontos) Usando integrais duplas, calcule o volume do tetraedro limitado pelos planos x+2 y+z=2, x=2 y, x=0 e z=0. Esboce o tetraedro e calcule o valor médio da função z=f(x, y)=2-x-2 y na região triangular da base do tetraedro no plano z=0.
Rascunho:

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos x+2y+z=2, x=2y, x=0 e z=0 usando integrais duplas.
  • Esboçar o tetraedro (dar as informações essenciais para um esboço).
  • Calcular o valor médio da função z=f(x,y)=2-x-2y na região triangular da base do tetraedro no plano z=0.
Informações fornecidas pelo enunciado (as equações dos planos):
  • Plano superior oblíquo: x+2y+z=2.
  • Planos verticais laterais: x=2y e x=0.
  • Plano inferior: z=0.

Passo 2

Encontrar a região triangular R que é a base do tetraedro quando z=0. Para z=0 a interseção do plano oblíquo com o plano z=0 é a reta
x+2y=2.
As três curvas que limitam R no plano z=0 são x=0, x=2y e x+2y=2. Calcular os vértices da região triangular resolvendo pares dessas equações:
  • Interseção de x=0 e x+2y=2: x=0\Rightarrow 2y=2\Rightarrow y=1. Vértice (0,1,0).
  • Interseção de x=0 e x=2y: x=0\Rightarrow y=0. Vértice (0,0,0).
  • Interseção de x=2y e x+2y=2: substituir x=2y em x+2y=2 4y=2\Rightarrow y=\tfrac{1}{2}, então x=1. Vértice (1,\tfrac{1}{2},0).
Portanto a base R no plano z=0 é o triângulo com vértices (0,0), (0,1) e (1,\tfrac{1}{2}) (coordenadas em (x,y)).

Passo 3

Explicar a ideia da integral dupla para volume: se uma superfície acima do plano z=0 é dada por z=f(x,y) e a região base é R, então o volume entre a superfície e o plano z=0 é
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
No nosso caso f(x,y)=2-x-2y (visto que z=2-x-2y é a altura sobre cada ponto (x,y) da base) e a região base é R. Como z\ge0 na região (pois o tetraedro fica entre z=0 e a face oblíqua), podemos usar diretamente essa fórmula.

Passo 4

Escolher limites de integração para R. A fronteira superior em y é dada por resolver x+2y=2\Rightarrow y=1-\tfrac{x}{2}. A fronteira inferior em y é dada por x=2y\Rightarrow y=\tfrac{x}{2}. O x varia entre os pontos mais à esquerda e mais à direita do triângulo: o menor x é 0 e o maior x é 1 (vértice (1,\tfrac12)). Logo um conjunto de limites conveniente é
0\le x\le 1,\qquad \frac{x}{2}\le y\le 1-\frac{x}{2}.
Assim o volume fica escrito como
V=\int_{x=0}^{1}\int_{y=\tfrac{x}{2}}^{1-\tfrac{x}{2}} \bigl(2-x-2y\bigr)\,dy\,dx.

Passo 5

Calcular a integral dupla passo a passo.
Primeiro integrar em y:
\int_{\tfrac{x}{2}}^{1-\tfrac{x}{2}} (2-x-2y)\,dy = \left[(2-x)y - y^{2}\right]_{y=\tfrac{x}{2}}^{\,y=1-\tfrac{x}{2}}.
Avaliar no ponto superior y=1-\tfrac{x}{2}:
(2-x)\Bigl(1-\tfrac{x}{2}\Bigr) - \Bigl(1-\tfrac{x}{2}\Bigr)^{2} =1 - x + \tfrac{x^{2}}{4}.
Avaliar no ponto inferior y=\tfrac{x}{2}:
(2-x)\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr) - \Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr)^{2} =\frac{4x-3x^{2}}{4}.
Fazendo a diferença (superior menos inferior):
1 - x + \tfrac{x^{2}}{4} - \frac{4x-3x^{2}}{4} =1 - 2x + x^{2}.
Portanto a integral em y resulta na função 1-2x+x^{2}, e restará integrar em x:
V=\int_{0}^{1} \bigl(1-2x+x^{2}\bigr)\,dx.
Calcular essa integral:
\int_{0}^{1} (1-2x+x^{2})\,dx = \left[x - x^{2} + \tfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 1 - 1 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{3}.
Logo o volume do tetraedro é V=\tfrac{1}{3}.

Passo 6

Esboço e descrição geométrica do tetraedro (informações essenciais para desenhar):
  • Os quatro vértices do tetraedro são
    • (0,0,0) (origem),
    • (0,1,0) (interseção de x=0 com x+2y+z=2 em z=0),
    • (1,\tfrac{1}{2},0) (interseção de x=2y com x+2y+z=2 em z=0),
    • (0,0,2) (interseção de x=0 e x=2y com o plano x+2y+z=2; é o ápice do tetraedro acima da origem).
  • A base é o triângulo no plano z=0 com vértices (0,0), (0,1), (1,\tfrac{1}{2}).
  • A face superior é a porção do plano x+2y+z=2 que fica sobre esse triângulo.
    Para esboçar: desenhar eixos x,y,z, marcar a base triangular no plano z=0 e elevar o ápice até z=2 na vertical sobre a origem; ligar os vértices para obter as faces planas.

Passo 7

Calcular a área da base R (necessária para o valor médio). Uma maneira é integrar a largura em y:
\text{Área}(R)=\int_{0}^{1}\Bigl(1-\tfrac{x}{2}-\tfrac{x}{2}\Bigr)\,dx =\int_{0}^{1} (1-x)\,dx =\left[x-\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.Á
Alternativamente, é óbvio geometricamente que a área é \tfrac{1}{2}.

Passo 8

Calcular o valor médio de f(x,y)=2-x-2y na região R. A definição do valor médio é
\bar{f}=\frac{1}{\text{Área}(R)}\iint_{R} f(x,y)\,dA.Á
Já calculamos \iint_{R} f(x,y)\,dA ao encontrar o volume; esse integral vale \tfrac{1}{3}. Como \text{Área}(R)=\tfrac{1}{2}Á, temos
\bar{f}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}\cdot \tfrac{1}{3}=2\cdot \tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.

Resposta

Volume: V=\tfrac{1}{3}.
Valor médio de z=f(x,y)=2-x-2y na base: \bar{f}=\tfrac{2}{3}.
Esboço / vértices do tetraedro: (0,0,0),\\ (0,1,0),\\ (1,\tfrac{1}{2},0),\\ (0,0,2).

Exercícios relacionados