(4 pontos) Usando integrais duplas, calcule o volume do tetraedro limitado pelos planos
,
e
. Esboce o tetraedro e calcule o valor médio da função
na região triangular da base do tetraedro no plano
.
Rascunho:
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos
, , e usando integrais duplas. - Esboçar o tetraedro (dar as informações essenciais para um esboço).
- Calcular o valor médio da função
na região triangular da base do tetraedro no plano .
Informações fornecidas pelo enunciado (as equações dos planos):
- Plano superior oblíquo:
. - Planos verticais laterais:
e . - Plano inferior:
.
Passo 2
Encontrar a região triangular
que é a base do tetraedro quando
. Para
a interseção do plano oblíquo com o plano
é a reta
As três curvas que limitam
no plano
são
,
e
. Calcular os vértices da região triangular resolvendo pares dessas equações:
- Interseção de
e : . Vértice . - Interseção de
e : . Vértice . - Interseção de
e : substituir em dá , então . Vértice .
Portanto a base
no plano
é o triângulo com vértices
,
e
(coordenadas em
).
Passo 3
Explicar a ideia da integral dupla para volume: se uma superfície acima do plano
é dada por
e a região base é
, então o volume entre a superfície e o plano
é
No nosso caso
(visto que
é a altura sobre cada ponto
da base) e a região base é
. Como
na região (pois o tetraedro fica entre
e a face oblíqua), podemos usar diretamente essa fórmula.
Passo 4
Escolher limites de integração para
. A fronteira superior em
é dada por resolver
. A fronteira inferior em
é dada por
. O
varia entre os pontos mais à esquerda e mais à direita do triângulo: o menor
é
e o maior
é
(vértice
). Logo um conjunto de limites conveniente é
Assim o volume fica escrito como
Passo 5
Calcular a integral dupla passo a passo.
Primeiro integrar em
:
Avaliar no ponto superior
:
Avaliar no ponto inferior
:
Fazendo a diferença (superior menos inferior):
Portanto a integral em
resulta na função
, e restará integrar em
:
Calcular essa integral:
Logo o volume do tetraedro é
.
Passo 6
Esboço e descrição geométrica do tetraedro (informações essenciais para desenhar):
- Os quatro vértices do tetraedro são
-
(origem), -
(interseção de com em ), -
(interseção de com em ), -
(interseção de e com o plano ; é o ápice do tetraedro acima da origem).
-
- A base é o triângulo no plano
com vértices , , . - A face superior é a porção do plano
que fica sobre esse triângulo.
Para esboçar: desenhar eixos, marcar a base triangular no plano e elevar o ápice até na vertical sobre a origem; ligar os vértices para obter as faces planas.
Passo 7
Calcular a área da base
(necessária para o valor médio). Uma maneira é integrar a largura em
:
Alternativamente, é óbvio geometricamente que a área é
.
Passo 8
Calcular o valor médio de
na região
. A definição do valor médio é
Já calculamos
ao encontrar o volume; esse integral vale
. Como
, temos
Resposta
Volume:
.
Valor médio de
na base:
.
Esboço / vértices do tetraedro:
.