Encontre a solução geral das equações diferenciais, resolvendo o problema de valor inicial correspondente caso necessário.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
O que se pede: encontrar a solução geral da equação diferencial (e, se necessário, resolver o problema de valor inicial correspondente).
Informações relevantes dadas no enunciado:
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A equação relaciona
com uma razão de combinações lineares de e : o numerador é e o denominador é . - Não foi fornecida condição inicial específica, portanto vamos obter a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Vamos checar a forma da razão à direita para escolher um método. Observando
ou seja, a razão depende apenas de
. Isso indica que a equação é homogênea (grau zero) em
e
. Para esse tipo de equação o método padrão é a substituição
onde
é uma função de
. Explico por que: se
, então a dependência por
transforma a equação numa equação para
que geralmente é separável. Também precisamos da derivada de
:
Essa fórmula vem da regra do produto: derivada de
é
.
Passo 3
Substituindo
e
na equação original:
Isolando
:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
Observe que o polinômio do numerador fatoriza:
Passo 4
Agora separamos variáveis: reescrevendo a última expressão,
Explicação: dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
de modo a colocar todos os termos em
multiplicando
do lado esquerdo e o termo em
do lado direito. Assim podemos integrar cada lado em sua variável.
Passo 5
Integramos os dois lados. Primeiro vamos decompor a fração em
Multiplicando por
:
Igualando coeficientes:
Subtraindo as equações:
.
Portanto
Passo 6
Integrando ambos os lados:
As integrais são logaritmos:
onde
é constante de integração. Multiplicando por
:
Combinando os logaritmos do lado esquerdo:
Exponentiando (absorvendo o expoente de
numa nova constante
, que pode ter sinal):
Lembrando que
, substituímos:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Aqui
é uma constante arbitrária real. Nota sobre domínios: durante a substituição usamos
; soluções obtidas por essa implicação são válidas em intervalos onde a manipulação foi permitida. As retas
e
aparecem como casos particulares quando
.
Passo 7
Resumo e interpretação final: a solução geral está dada implicitamente por
com constante arbitrária
. Para
obtemos as soluções lineares
e
(essas são incluídas na família). Em problemas de valor inicial, a constante
é fixada pela condição dada; se a condição envolver um ponto onde
, deve-se verificar consistência direta com a equação original (pois em alguns passos dividimos por
).