Encontre a solução geral das equações diferenciais, resolvendo o problema de valor inicial correspondente caso necessário.
y^{\prime}=-\frac{4 x+3 y}{2 x+y}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = -\frac{4x+3y}{2x+y}.
O que se pede: encontrar a solução geral da equação diferencial (e, se necessário, resolver o problema de valor inicial correspondente).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A equação relaciona y' com uma razão de combinações lineares de x e y: o numerador é 4x+3y e o denominador é 2x+y.
  • Não foi fornecida condição inicial específica, portanto vamos obter a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Vamos checar a forma da razão à direita para escolher um método. Observando
-\frac{4x+3y}{2x+y} = -\frac{4 + 3\,(y/x)}{2 + (y/x)},
ou seja, a razão depende apenas de y/x. Isso indica que a equação é homogênea (grau zero) em x e y. Para esse tipo de equação o método padrão é a substituição
y = v x,
onde v é uma função de x. Explico por que: se y = v x, então a dependência por y/x transforma a equação numa equação para v que geralmente é separável. Também precisamos da derivada de y:
y' = \frac{d}{dx}(v x) = v + x\frac{dv}{dx}.
Essa fórmula vem da regra do produto: derivada de v(x)\cdot x é v'(x)\cdot x + v(x)\cdot 1.

Passo 3

Substituindo y = v x e y' = v + x\,dv/dx na equação original:
v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{4 + 3v}{2 + v}.
Isolando x\,dv/dx:
x\frac{dv}{dx} = -\frac{4 + 3v}{2 + v} - v.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 2+v:
x\frac{dv}{dx} = -\frac{4 + 3v + v(2+v)}{2+v} = -\frac{4 + 3v + 2v + v^2}{2+v} = -\frac{v^2 + 5v + 4}{2+v}.
Observe que o polinômio do numerador fatoriza:
v^2 + 5v + 4 = (v+1)(v+4).

Passo 4

Agora separamos variáveis: reescrevendo a última expressão,
\frac{2+v}{v^2+5v+4}\,dv = -\frac{dx}{x}.
Explicação: dividimos ambos os lados por x e multiplicamos por (2+v)/(v^2+5v+4) de modo a colocar todos os termos em v multiplicando dv do lado esquerdo e o termo em x do lado direito. Assim podemos integrar cada lado em sua variável.

Passo 5

Integramos os dois lados. Primeiro vamos decompor a fração em v\) por frações parciais. Temos \[\frac{2+v}{(v+1)(v+4)} = \frac{A}{v+1} + \frac{B}{v+4}.
Multiplicando por (v+1)(v+4):
2+v = A(v+4) + B(v+1) = (A+B)v + (4A+B).
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A + B = 1,\\[4pt] 4A + B = 2. \end{cases}
Subtraindo as equações: 3A = 1 \Rightarrow A = \tfrac{1}{3}\]. Então \(B = 1 - A = \tfrac{2}{3}.
Portanto
\frac{2+v}{(v+1)(v+4)} = \frac{1/3}{v+1} + \frac{2/3}{v+4}.]

Passo 6

Integrando ambos os lados:
\int\!\left(\frac{1/3}{v+1} + \frac{2/3}{v+4}\right) dv = \int\! -\frac{dx}{x}.
As integrais são logaritmos:
\frac{1}{3}\ln|v+1| + \frac{2}{3}\ln|v+4| = -\ln|x| + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por 3:
\ln|v+1| + 2\ln|v+4| = -3\ln|x| + C_1.
Combinando os logaritmos do lado esquerdo:
\ln\!\big(|v+1|\,|v+4|^2\big) = \ln\!\big(|x|^{-3}\big) + C_1.
Exponentiando (absorvendo o expoente de C_1 numa nova constante C, que pode ter sinal):
(v+1)(v+4)^2 = C x^{-3}.
Lembrando que v = y/x, substituímos:
\Big(\frac{y}{x}+1\Big)\Big(\frac{y}{x}+4\Big)^2 = C x^{-3}.
Multiplicando ambos os lados por x^3 para simplificar:
(y+x)(y+4x)^2 = C.
Aqui C é uma constante arbitrária real. Nota sobre domínios: durante a substituição usamos x\neq 0; soluções obtidas por essa implicação são válidas em intervalos onde a manipulação foi permitida. As retas y=-x e y=-4x aparecem como casos particulares quando C=0.

Passo 7

Resumo e interpretação final: a solução geral está dada implicitamente por
(y+x)(y+4x)^2 = C,
com constante arbitrária C\in\mathbb{R}. Para C=0 obtemos as soluções lineares y=-x e y=-4x (essas são incluídas na família). Em problemas de valor inicial, a constante C é fixada pela condição dada; se a condição envolver um ponto onde x=0, deve-se verificar consistência direta com a equação original (pois em alguns passos dividimos por x).

Resposta

(y+x)(y+4x)^2 = C (constante arbitrária C).

Exercícios relacionados