Considere o campo de vetores
F(x, y, z)=[y-ln (z^2+1)] i+[y+arctan (x^2)] j+[z-1] k,
Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de F através da calota esférica S: z=raiz1-x^2-y^2, z >= 0, onde a orientação de S é dada com campo normal unitário apontando para cima.

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores
F(x,y,z)=l[y-ln(z^2+1)r]i+l[y+arctan(x^2)r]j+[,z-1,]k
e pede o fluxo de F através da calota esférica
S:;z=raiz1-x^2-y^2, z>=0,
com o normal unitário apontando para cima.
Vamos usar o Teorema da Divergência num volume V delimitado por S e pelo disco Dcolon z=0,;x^2+y^2<=1.

Passo 2

Calcular a divergência de F:
div,F =partialpartial xl[y-ln(z^2+1)r] +partialpartial yl[y+arctan(x^2)r] +partialpartial z[,z-1,] =0+1+1=2

Passo 3

O Teorema da Divergência diz
integral duplaScup DFcdotn,dS =integral triplaVdiv,F,dV =2cdotVol(V)
Aqui V é a metade superior da bola de raio 1, cuja volume é
Vol(V)=tfrac12cdot4pi3=2pi3
Logo
integral triplaVdiv,F,dV =2cdot2pi3=4pi3

Passo 4

Calcular o fluxo através do disco D em z=0. O normal externo a V em D é -k, e em z=0 temos
F(x,y,0)cdot(-k) =-[,0-1,]=1
Portanto
PhiD =integral duplax^2+y^2<=11,dS =picdot1^2=pi

Passo 5

Como a fronteira fechada de V é Scup D e os normais em S e D são ambos externos a V, temos
integral duplaSFcdotn,dS +integral duplaDFcdotn,dS =4pi3
Isolando o fluxo em S:
integral duplaSFcdotn,dS =4pi3-pi =pi3

Resposta

pi3

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