Seja S a parte do cone z=raizx^2+y^2 entre os planos z=1 e z=2. Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo
F(x, y, z)=[x+sen(y^2)] i+[y+cos (z^2)] j+z k
através de S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F(x,y,z)=[x+sin(y^2)], i+[y+cos(z^2)], j+z, k pela superfície aberta S dada pelo cone z=raizx^2+y^2 entre os planos z=1 e z=2. Como S não é fechada, vamos aplicar o Teorema da Divergência a uma região V limitada por S mais os discos horizontais em z=1 e z=2, e depois isolar o fluxo através de S.

Passo 2

Calcular a divergência de vec F:
nablacdotvec F =partialpartial xl(x+sin(y^2)r) +partialpartial yl(y+cos(z^2)r) +partialpartial z(z) =1+1+1=3

Passo 3

Avaliar o volume de V em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), com zin[1,2], rin[0,z], thetain[0,2pi]:
Vol(V) =integral0^2pi!integralz=1^2!integralr=0^z r,dr,dz,dtheta =2piintegral1^2z^22,dz =piintegral1^2z^2,dz =pil[tfracz^33r]1^2 =pil(tfrac83-tfrac13r) =tfrac7pi3
Logo, pelo Teorema da Divergência,
integral duplapartial Vvec Fcdot dvec S =integral triplaV(nablacdotvec F),dV =3cdottfrac7pi3=7pi

Passo 4

Fluxo pelo disco em z=1 (chamado D1), com normal para baixo n=- k:
integral duplaD1vec Fcdot dvec S =integral duplaD1vec Fcdot(- k),dS =-integral duplaD1z,dS =-integral duplaD11,dS =-picdot1^2 =-pi

Passo 5

Fluxo pelo disco em z=2 (chamado D2), com normal para cima n= k:
integral duplaD2vec Fcdot dvec S =integral duplaD2z,dS =2cdotl(picdot2^2r) =8pi

Passo 6

Denotando por PhiS o fluxo procurado em S, temos
PhiS + l(-pir) + 8pi =7pi Longrightarrow PhiS =7pi - 7pi =0

Resposta

O fluxo de vec F através de S é 0.

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