Seja S a semi-esfera x^2+y^2+z^2=1, z >= 0, orientada com campo normal unitário n satisfazendo lang<=n, krang<= >= 0 e seja T o disco x^2+y^2 <= 1, z=0, orientado com campo normal unitário apontando para baixo. Dado o campo
F(x, y, z)=[x y^2+ln (y^2+z^2)] i+[2 x y z+cos (x^2+z^2)] j+(2 z^2-x z^2-y^2 z+1) k
Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de F em S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de através da semi-esfera de raio 1. Podemos aplicar o Teorema da Divergência ao volume limitado por mais o disco na base . Nesse teorema vale
Como a orientação em é a normal exterior (que tem componente na direção ) e em a normal exterior aponta para baixo, teremos
Logo para achar basta computar o divergente, o integral de volume e o fluxo em .

Passo 2

Calcular nablacdotvec F. Escrevendo
Fx = x y^2 + ln(y^2+z^2), Fy = 2xyz+cos(x^2+z^2), Fz = 2z^2 - xz^2 - y^2z + 1,
temos
partial Fxpartial x = y^2, partial Fypartial y = 2xz, partial Fzpartial z = 4z -2xz - y^2
Somando,
nablacdotvec F = y^2 + 2xz + (4z - 2xz - y^2) = 4z

Passo 3

Calcular integral triplaV4z,dV no hemisfério de raio 1. Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z):
integral triplaV4z,dV =4integraltheta=0^2pi!integralr=0^1!integralz=0^raiz1-r^2 z,r,dz,dr,dtheta
Fazendo a integral em z:
integral0^raiz1-r^2z,dz = (1-r^2)2,
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4cdot2piintegral0^1r1-r^22,dr =4piintegral0^1(r - r^3),dr =4pil[tfracr^22-tfracr^44r]0^1 =4pil(tfrac12-tfrac14r) =4picdottfrac14 =pi

Passo 4

Calcular o fluxo em . No disco a normal exterior ao volume aponta para baixo, ou seja . Então
Mas . Então

Passo 5

Pela Divergência:
então

Resposta

O fluxo de vec F através de S é 2pi.

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