Seja
a semi-esfera
, orientada com campo normal unitário
satisfazendo
e seja
o disco
, orientado com campo normal unitário apontando para baixo. Dado o campo
Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de
em
.
Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da semi-esfera
de raio 1. Podemos aplicar o Teorema da Divergência ao volume
limitado por
mais o disco
na base
. Nesse teorema vale
Como a orientação em
é a normal exterior (que tem componente
na direção
) e em
a normal exterior aponta para baixo, teremos
Logo para achar basta computar o divergente, o integral de volume e o fluxo em
.
Passo 2
Calcular
. Escrevendo
temos
Somando,
Passo 3
Calcular
no hemisfério de raio 1. Em coordenadas cilíndricas
:
Fazendo a integral em
:
logo
Passo 4
Calcular o fluxo em
. No disco
a normal exterior ao volume aponta para baixo, ou seja
. Então
Mas
. Então
Passo 5
Pela Divergência:
então
Resposta
O fluxo de
através de
é
.