Seja
a parte do paraboloide
que está acima do plano
orientada com campo normal unitário apontando para cima e seja
o disco
, com campo normal unitário apontando para baixo. Dado o campo de vetores
Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de
através de
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através de
, onde
orientada com normal unitário apontando para cima. Temos também o disco
com normal unitário apontando para baixo. Para facilitar o cálculo, vamos fechar a superfície com
e
e aplicar o Teorema de Gauss (divergência).
Passo 2
Pelo Teorema de Gauss, para o volume
entre
e
vale
Como as orientações dadas (normal de
para cima e de
para baixo) coincidem com a orientação exterior de
, podemos usar esta relação diretamente.
Passo 3
Calculamos a divergência de
.
Temos
Temos
Os dois primeiros termos são zero (não dependem de
ou de
), e
Logo
Passo 4
O volume
é dado por
Assim
Em coordenadas polares:
Passo 5
Calculamos agora o fluxo através de
. Em
,
e o vetor normal unitário apontando para baixo é
. Logo
Temos
portanto
Passo 6
Pela Gauss: