Seja S a parte do paraboloide z=2-x^2-y^2 que está acima do plano z=1 orientada com campo normal unitário apontando para cima e seja D o disco x^2+y^2 <= 1, z=1, com campo normal unitário apontando para baixo. Dado o campo de vetores
F(x, y, z)=[z arctan (y^2)] i+[z^3 ln (x^2+1)] j+z k,
Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de F através de S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F através de S, onde
S: z = 2 - x^2 - y^2, z>=1,
orientada com normal unitário apontando para cima. Temos também o disco
D:;x^2+y^2<=1,;z=1,
com normal unitário apontando para baixo. Para facilitar o cálculo, vamos fechar a superfície com S e D e aplicar o Teorema de Gauss (divergência).

Passo 2

Pelo Teorema de Gauss, para o volume V entre S e D vale
integral duplaS vec Fcdot dvec S;+;integral duplaD vec Fcdot dvec S ;=; integral triplaV nablacdotvec F ,dV
Como as orientações dadas (normal de S para cima e de D para baixo) coincidem com a orientação exterior de V, podemos usar esta relação diretamente.

Passo 3

Calculamos a divergência de
vec F=(,zarctan(y^2),,z^3ln(x^2+1),,z).
Temos
nablacdotvec F = partialpartial xl(zarctan(y^2)r) + partialpartial yl(z^3ln(x^2+1)r) + partialpartial z(z)
Os dois primeiros termos são zero (não dependem de x ou de y), e
partialpartial z(z)=1
Logo
nablacdotvec F = 1

Passo 4

O volume V é dado por
1<= z<= 2 - x^2 - y^2, x^2+y^2<=1
Assim
integral triplaV1,dV =integral duplax^2+y^2<=1l[(2 - x^2 - y^2)-1r],dA =integral duplar<=1(1 - r^2),r,dr,dtheta
Em coordenadas polares:
integral0^2pi!integral0^1(r - r^3),dr,dtheta =2pil[tfrac12 - tfrac14r] =2picdottfrac14 =pi2

Passo 5

Calculamos agora o fluxo através de D. Em D, z=1 e o vetor normal unitário apontando para baixo é - k. Logo
vec Fl|z=1 =l(arctan(y^2),;ln(x^2+1),;1r), dvec S = - k,dA
Temos
vec Fcdot dvec S = -1,dA,
portanto
integral duplaDvec Fcdot dvec S =-integral duplaD1,dA =-área(D) =-pi á

Passo 6

Pela Gauss:
integral duplaSvec Fcdot dvec S = integral triplaV1,dV ;-;integral duplaDvec Fcdot dvec S = pi2 - (-pi) = pi2 + pi = 3pi2

Resposta

3pi2

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