Resolva os seguintes itens.
a) Encontre a solução para seguinte problema de valor inicial
l y^prime=y^5 sen x y(0)=1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial onde a derivada de y em relação a x é igual a y^5 vezes o seno de x . Além disso, sabemos que quando x = 0 , y = 12 . Isso aí envolve o conteúdo de equações diferenciais, especificamente a separação de variáveis. Para resolver, vamos separar as partes que têm y das que têm x e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis y e x . A gente tem:
dydx = y^5 sin x
Vamos colocar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x do outro:
dyy^5 = sin x , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar os dois lados dessa equação. A integral de 1y^5 em relação a y e a integral de sin x em relação a x :
integral 1y^5 , dy = integral sin x , dx

Passo 4

Vamos calcular essas integrais uma por uma. Primeiro, a integral com y :
integral y^-5 , dy = y^-4-4 + C1 = -14 y^4 + C1
Agora, a integral com x :
integral sin x , dx = -cos x + C2

Passo 5

Igualando as integrais (a constante pode ser combinada em uma única C ):
-14 y^4 = -cos x + C
Vamos simplificar multiplicando ambos os lados por -1:
14 y^4 = cos x - C

Passo 6

Agora, vamos resolver para y . Primeiro, isolamos y^4 :
y^4 = 14 (cos x - C)
Então, tiramos a raiz quarta dos dois lados:
y = ( 14 (cos x - C) )^1/4

Passo 7

Para encontrar a constante C , usamos a condição inicial y(0) = 12 . Vamos substituir x = 0 e y = 12 na equação:
12 = ( 14 (cos 0 - C) )^1/4
Sabemos que cos 0 = 1 , então:
12 = ( 14 (1 - C) )^1/4

Passo 8

Vamos elevar ambos os lados à quarta potência para eliminar a raiz:
( 12 )^4 = 14 (1 - C)
Calculando o lado esquerdo:
116 = 14 (1 - C)

Passo 9

Resolvendo para C :
4 (1 - C) = 16
Dividindo ambos os lados por 4:
1 - C = 4
Então:
C = -3

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y(x) = ( 14 (cos x + 3) )^1/4

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