Resolva os seguintes itens.
a) Encontre a solução para seguinte problema de valor inicial
a) Encontre a solução para seguinte problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial onde a derivada de
em relação a
é igual a
vezes o seno de
. Além disso, sabemos que quando
,
. Isso aí envolve o conteúdo de equações diferenciais, especificamente a separação de variáveis. Para resolver, vamos separar as partes que têm
das que têm
e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis
e
. A gente tem:
Vamos colocar tudo que tem
de um lado e tudo que tem
do outro:
Passo 3
Agora, vamos integrar os dois lados dessa equação. A integral de
em relação a
e a integral de
em relação a
:
Passo 4
Vamos calcular essas integrais uma por uma. Primeiro, a integral com
:
Agora, a integral com
:
Passo 5
Igualando as integrais (a constante pode ser combinada em uma única
):
Vamos simplificar multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, isolamos
:
Então, tiramos a raiz quarta dos dois lados:
Passo 7
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
. Vamos substituir
e
na equação:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Vamos elevar ambos os lados à quarta potência para eliminar a raiz:
Calculando o lado esquerdo:
Passo 9
Resolvendo para
:
Dividindo ambos os lados por 4:
Então:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: