Considere o campo vetorial F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2). Use o Teorema de Green para calcular as integrais
integralCi -yx^2+y^2 d x+xx^2+y^2 d y
, onde C1 é o arco de parábola y=14 x^2+1, de (-2,2) a (2,2) e C2 é o arco de parábola y=x^2-2, de (-2,2) a (2,2). F é conservativo? Use os resultados obtidos para justificar sua resposta.

Passo 1

Neste exercício vamos usar o Teorema de Green adaptado a um domínio com uma região excluída (o ponto (0,0), onde F é singular). O conteúdo é campo vetorial em $,\mathbb{R}^2$ menos a origem, cálculo de rotacional e aplicação de Green em domínio multiplique-conectado.

Passo 2

Primeiro, calculemos o rotacional de $,\mathbf{F}(x,y)=(P,Q)$, onde ,F(x,y)=(P,Q) Temos:
$$
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{(x2+y2) - 2x2}{(x2+y2)2} = \frac{-x2+y2}{(x2+y2)^2},
$$
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{- (x2+y2) + 2y2}{(x2+y2)2} = \frac{-x2+y2}{(x2+y2)^2}.
$$
Portanto partial Qpartial x = (x^2+y^2) - 2x^2(x^2+y^2)^2 = -x^2+y^2(x^2+y^2)^2, em todo ponto salvo a origem.

Passo 3

Para aplicar Green, fechemos o caminho unindo o arco inferior (-2,2) (de $(-2,2)$ a $2,2)$) e o arco superior $-C_1$ (o oposto de 2,2)). Orientação positiva (anti-horária) dá contorno -C1.

Passo 4

No domínio varepsilon entre estas curvas está o ponto (0,0) excluído. Aplique Green em ointCP,dx+Q,dy = ointcírculo |z|=varepsilonP,dx+Q,dy menos um disco de raio $\varepsilon$ ao redor da origem. O rotacional é zero, então
$$
\oint_{C}P,dx+Q,dy = \oint_{círculo|z|=\varepsilon}P,dx+Q,dy.
$$

Passo 5

Parametrizando o círculo pequeno: oint|z|=varepsilonP,dx+Q,dy = integral0^2pi1,dt = 2pi obtemos
$$
\oint_{|z|=\varepsilon}P,dx+Q,dy = \int_0^{2\pi}1,dt = 2\pi.
$$

Passo 6

Logo
$$
\oint_C = \int_{C_2} - \int_{C_1} = 2\pi
$$
e portanto
$$
\int_{C_2} = 2\pi + \int_{C_1}.
$$

Passo 7

Para achar theta=arg(x+iy), notamos que em \(
C_1) (y>1) a função potencial $\theta=\arg(x+iy)$ é bem definida e contínua. Assim
$$
\int_{C_1}P,dx+Q,dy = \theta(2,2)-\theta(-2,2) = \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}.
$$
Substituindo,
$$
\int_{C_2} = 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}.
$$

Passo 8

Como e são diferentes, não é conservativo em .

Resposta

$\displaystyle \int_{C_1}P,dx+Q,dy = -\tfrac{\pi}{2},\quad \int_{C_2}P,dx+Q,dy = \tfrac{3\pi}{2}.\ $ Portanto F não é conservativo.

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