Considere o campo vetorial
. Use o Teorema de Green para calcular as integrais
, onde
é o arco de parábola
, de
a
e
é o arco de parábola
, de
a
. F é conservativo? Use os resultados obtidos para justificar sua resposta.
Passo 1
Neste exercício vamos usar o Teorema de Green adaptado a um domínio com uma região excluída (o ponto (0,0), onde F é singular). O conteúdo é campo vetorial em $,\mathbb{R}^2$ menos a origem, cálculo de rotacional e aplicação de Green em domínio multiplique-conectado.
Passo 2
Primeiro, calculemos o rotacional de $,\mathbf{F}(x,y)=(P,Q)$, onde
Temos:
$$
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{(x2+y2) - 2x2}{(x2+y2)2} = \frac{-x2+y2}{(x2+y2)^2},
$$
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{(x2+y2) - 2x2}{(x2+y2)2} = \frac{-x2+y2}{(x2+y2)^2},
$$
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{- (x2+y2) + 2y2}{(x2+y2)2} = \frac{-x2+y2}{(x2+y2)^2}.
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{- (x2+y2) + 2y2}{(x2+y2)2} = \frac{-x2+y2}{(x2+y2)^2}.
$$
Portanto
em todo ponto salvo a origem.
Passo 3
Para aplicar Green, fechemos o caminho unindo o arco inferior
(de $(-2,2)$ a $2,2)$) e o arco superior $-C_1$ (o oposto de
). Orientação positiva (anti-horária) dá contorno
.
Passo 4
No domínio
entre estas curvas está o ponto (0,0) excluído. Aplique Green em
menos um disco de raio $\varepsilon$ ao redor da origem. O rotacional é zero, então
$$
\oint_{C}P,dx+Q,dy = \oint_{círculo|z|=\varepsilon}P,dx+Q,dy.
$$
\oint_{C}P,dx+Q,dy = \oint_{círculo|z|=\varepsilon}P,dx+Q,dy.
$$
Passo 5
Parametrizando o círculo pequeno:
obtemos
$$
\oint_{|z|=\varepsilon}P,dx+Q,dy = \int_0^{2\pi}1,dt = 2\pi.
$$
\oint_{|z|=\varepsilon}P,dx+Q,dy = \int_0^{2\pi}1,dt = 2\pi.
$$
Passo 6
Logo
$$
\oint_C = \int_{C_2} - \int_{C_1} = 2\pi
$$
\oint_C = \int_{C_2} - \int_{C_1} = 2\pi
$$
e portanto
$$
\int_{C_2} = 2\pi + \int_{C_1}.
$$
\int_{C_2} = 2\pi + \int_{C_1}.
$$
Passo 7
Para achar
, notamos que em \(
C_1) (y>1) a função potencial $\theta=\arg(x+iy)$ é bem definida e contínua. Assim
C_1) (y>1) a função potencial $\theta=\arg(x+iy)$ é bem definida e contínua. Assim
$$
\int_{C_1}P,dx+Q,dy = \theta(2,2)-\theta(-2,2) = \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}.
$$
\int_{C_1}P,dx+Q,dy = \theta(2,2)-\theta(-2,2) = \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}.
$$
Substituindo,
$$
\int_{C_2} = 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}.
$$
\int_{C_2} = 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}.
$$
Passo 8
Como
e
são diferentes,
não é conservativo em
.
Resposta
$\displaystyle \int_{C_1}P,dx+Q,dy = -\tfrac{\pi}{2},\quad \int_{C_2}P,dx+Q,dy = \tfrac{3\pi}{2}.\ $ Portanto F não é conservativo.